Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

(Capítulo 9.1 – Exercício 75) Um carro de 1200   k g está sendo retirado da água por um guincho. No momento em que o carro está 5,0 m acima da água, a caixa de engrenagens quebra e o tambor do guincho gira livremente enquanto o carro cai. Durante a queda do carro, não existe deslizamento entre a corda (sem massa), a polia e o tambor. O momento de inércia do tambor do guincho é 320   k g ⋅ m 2 e o momento de inércia da polia é 4,00   k g ⋅ m 2 . O raio do tambor é 0,800 m e o raio da polia é 0,300 m . Suponha o carro partindo do repouso. Determine a rapidez com que ele atinge a água.

Passo 1

Falaaa, querido! Cê tá bem?

Seguinte, ele diz que o carro está inicialmente parado em uma altura h = 5   m em relação a água. E ele quer saber rapidez do carro quando ele cai na água.

A gente tem essas informações sobre altura e quer a rapidez final do carro, esses dados são dicas para a gente usar conservação de energia mecânica para achar a rapidez do carro.

E f = E i

O nosso sistema é formato pelo carro, pela polia e pelo tambor, então a energia mecânica tanto do momento inicial quanto do momento final vão depender do movimento de todos esses elementos.

Bora ver como fica isso!

Passo 2

Vamos considerar que nosso referencial de altura é a água.

Quando o carro de massa m está na altura h = 5   m , ele está parado. Então ele não tem energia cinética, apenas potencial gravitacional U g .

E nesse momento, o tambor e a polia estão parados também, porque eles só giram quando o carro se move, então a energia cinética de rotação dele é nula.

Logo, a energia do sistema nesse momento é somente a energia U g do carro, dada por

E i = U g = m g h

Como o carro é o único que muda de altura na situação, a gente só olha a energia potencial gravitacional dele, tudo bem?

Passo 3

Já quando o carro chega na água, a altura dele é nula, então não há energia potencial gravitacional.

Mas o carro está em movimento com velocidade v , e por isso ele tem energia cinética:

K c a r r o = m v 2 2

E como o carro se move, a polia e o tambor também começam a girar. E se eles giram, eles têm rapidez angular, e por isso, têm energia cinética de rotação. A fórmula dessa energia é

K r o t = I ω 2 2

Se m p é a massa da polia e m t a do tambor, e I p é o momento de inércia da polia e I t o momento de inércia do tambor, a polia tem essa energia

K p o l i a = I p ω p 2 2

E o tambor tem

K t a m b o r = I t ω t 2 2

Logo a energia final total é

E f = K c a r r o + K p o l i a + K t a m b o r

E f = m v 2 2 + I t ω t 2 2 + I p ω p 2 2

Passo 4

Então pela conservação de energia:

E f = E i

m v 2 2 + I t ω t 2 2 + I p ω p 2 2 = m g h

Como o tambor e a polia rodam sem deslizar e eles rodam por causa da corda que tem a mesma velocidade linear do carro, a gente pode relacionar a rapidez angular da polia e do tambor com a rapidez linear do carro assim:

v = ω r

ω = v r

Então para a polia vamos ter ω p = v / r p e para o tambor ω t = v / r t . Substituindo na nossa equação:

m v 2 2 + I t v r t 2 2 + I p v r p 2 2 = m g h

Agora é isolar quem a gente quer, a rapidez v . Colocando em evidência:

v 2 m 2 + I t 2 r t 2 + I p 2 r p 2 = m g h

Agora a gente passa dividindo:

v = 2 m g h m + I t r t 2 + I p r p 2

Passo 5

Passo 6

Substituindo valores:

v = 2 1200 9.81 5.00 1200 + 320 0.800 2 + 4 0.3 2

v = 8.21 m s

E arrasamos!

Resposta

v = 8.21 m s

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