Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

9 . Os cilindros mostrados na Figura têm raios R 1 = 0,2   m e R 2 = 0,1   m , massas M 1 = 2,0   k g e M 2 = 0,5   k g e momentos de inércia em relação a seus centros de massa determinados pela relação geral I C M = M R 2 / 2 . Os cilindros são livres para girar em torno de eixos horizontais fixos, perpendiculares à figura e que passam pelos respectivos centros de massa. O fio de massa desprezível passa sem deslizamento pelos cilindros e suas pontas livres estão presas a corpos de massas m 1 = 0,4   k g e m 2 = 0,2   k g , em repouso na mesma altura. Determine a aceleração dos corpos e a velocidade do corpo m 1 quando este se deslocou h = 1   m . Adote 10   m / s 2 .

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão juntos!

Para esse problema teremos que avaliar as forças resultantes que agem nos corpos e nos cilindros teremos que avaliar o torque resultante (Como se fosse a força resultante, mas no caso de rotação de corpos)

Avaliando essas equações da força resultante e de torque resultante poderemos manipulá-las para poder tirar a aceleração dos blocos, que vai ser a mesma já que o fio que os liga é sem massa e passa pelas polias sem deslizar.

Depois que encontrarmos essa aceleração, podermos achar a velocidade do corpo m 1 no deslocamento de 1   m que ele teve, vamos usar a seguinte equação:

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ s

Onde v 0 = 0 , já que ele parte do repouso e Δ s = h .

Vamos as contas então!

Passo 2

Vamos começar com o corpo m 1 , e vamos supor que ele está descendo já que sua massa é maior, a força resultante sobre ele é dada por:

F R 1 = m 1 a = m 1 g - T 1

Onde T 1 é a tenção que essa parte do fio causa sobre ele.

Agora para m 2 , temos que ele está subindo já que m 1 está descendo, assim:

F R 2 = m 2 a = T 3 - m 2 g

Onde T 3 é a tensão que ele sofre dessa parte do fio ligado a ele.

Passo 3

Agora vamos achar o torque resultante sobre o cilindro 1 , temos o seguinte:

τ R 1 = I 1 α 1 = T 1 R 1 - T 2 R 1

Onde consideramos o sentido de rotação anti-horário como sendo o positivo.

A tensão T 2 é referente a parte do fio que liga os dois cilindros.

Usando que a aceleração angular é α = a / R , temos:

I 1 a R 1 = T 1 R 1 - T 2 R 1

Agora vamos ver o torque resultante sobre o cilindro 2 , temos o seguinte:

τ R 1 = I 1 α 1 = T 2 R 2 - T 3 R 2

Assim temos que:

I 2 a R 2 = T 2 R 2 - T 3 R 2

Passo 4

Então encontramos as seguintes equações:

m 1 a = m 1 g - T 1

m 2 a = T 3 - m 2 g

I 1 a R 1 = T 1 R 1 - T 2 R 1

I 2 a R 2 = T 2 R 2 - T 3 R 2

Vamos então dividir as duas últimas por R 1 e R 2 respectivamente, depois somar as quatro, com isso temos:

m 1 + m 2 + I 1 R 1 2 + I 2 R 2 2 a = ( m 1 - m 2 ) g

Usando os momentos de inércia de cada cilindro, temos:

m 1 + m 2 + M 1 2 + M 2 2 a = ( m 1 - m 2 ) g

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

0,4 + 0,2 + 2 2 + 0,5 2 a = 0,4 - 0,2 10

⇒ 1,85 a = 2

⇒ a = 1,081   m / s 2

Essa é a aceleração dos corpos.

Passo 5

Agora vamos encontrar a velocidade de m 1 quando ele se deslocou 1   m , usando a equação que vimos no passo 1 , temos:

v 2 = v 0 2 + 2 a Δ s

⇒ v 2 = 2 a h

⇒ v = 2 a h

Substituindo com o que sabemos, temos:

v = 2 ( 1,081 ) ( 1 )

⇒ v = 2,162

Com isso temos que:

v = 1,47   m / s

Finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

a = 1,081   m / s 2

v = 1,47   m / s

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