Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

UFRJ-P2-2012.1-Q1.

Considere dois discos um de raio R 1 e de massa M 1 e outro de raio R 2 e de massa M 2 unidos concentricamente formando um sistema (disco composto) rígido, cujo momento de inércia vale I quando gira livremente em torno do eixo fixo e perpendicular ao plano dos discos passando pelo centro. Duas massas, m 1 e m 2 , presas a cordas finas e inextensíveis enroladas na periferia dos discos de raios R 1 e R 2 respectivamente, fazem girar o disco composto quando soltas; considere que g é o módulo da aceleração local da gravidade.

  1. Isole os blocos e o disco composto e represente em um diagrama de corpo livre todas as forças, identificando-as, que atuam em cada um deles; use como referência a vista lateral do sistema.
  2. Escreva as equações do movimento de rotação do disco composto e de translação dos blocos.
  3. Determine a aceleração angular, α , do disco composto.
  4. Determine matematicamente a condição para que o sistema esteja em equilíbrio

Passo 1

a)

Vamos começar fazendo o DCL do bloco 1 .

Nesse caso, só vamos ter a tração e a força peso atuando.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora no bloco 2 será a mesma coisa que no bloco 1 , só os pesos e as trações que são diferentes:

Passo 3

No disco, o DCL é o seguinte:

Nesse caso, temos as duas forças de tração, o peso do disco e a força de reação do pino que chamei de F → .

Passo 4

b)

Vamos considerar que o disco rola com aceleração angular α no sentido anti-horário. É importante, em questões mais complexas como essa, olharmos a rotação do disco direito e com calma.

Vamos ter:

∑ τ = I ⋅ α

∑ τ = T 1 ⋅ R 1 - T 2 ⋅ R 2

Então:

T 1 R 1 - T 2 R 2 = I α

Passo 5

Se o disco está rolando no sentido anti-horário, o bloco 2 está subindo e o bloco 1 está descendo. Chamando cada módulo da aceleração de a 1 e a 2 , as equações do movimento serão as seguintes.

Para o bloco 2 :

T 2 - P 2 = m 2 ⋅ a 2

Lembrando que:

a 2 = α ⋅ R 2

Resultando em:

T 2 - m 2 g = m 2 R 2 α

Passo 6

Agora para o bloco 1 :

T 1 - P 1 = - m 1 ⋅ a 1

m 1 g - T 1 = m 1 a 1

Lembrando que:

a 1 = α ⋅ R 1

Resultando em:

m 1 g - T 1 = m 1 R 1 α

Passo 7

c)

Temos as seguintes equações:

T 1 R 1 - T 2 R 2 = I α T 2 - m 2 g = m 2 R 2 α m 1 g - T 1 = m 1 R 1 α

Multiplicando a segunda equação por R 2 e a terceira equação por R 1 :

T 1 R 1 - T 2 R 2 = I α T 2 R 2 - m 2 R 2 g = m 2 R 2 2 α m 1 R 1 g - T 1 R 1 = m 1 R 1 2 α

Agora somando todas as equações vamos ter:

T 1 R 1 - T 2 R 2 + T 2 R 2 - m 2 R 2 g + m 1 R 1 g - T 1 R 1 = I α + m 2 R 2 2 α + m 1 R 1 2 α

I + m 2 R 2 2 + m 1 R 1 2 α = m 1 R 1 g - m 2 R 2 g

α = m 1 R 1 g - m 2 R 2 g I + m 2 R 2 2 + m 1 R 1 2

Passo 8

Para que o sistema esteja em equilíbrio, devemos ter:

α = 0

Então:

α = m 1 R 1 g - m 2 R 2 g I + m 2 R 2 2 + m 1 R 1 2 = 0

m 1 R 1 g - m 2 R 2 g = 0

m 1 R 1 = m 2 R 2

Resposta

  1. T 1 R 1 - T 2 R 2 = I α T 2 - m 2 g = m 2 R 2 α m 1 g - T 1 = m 1 R 1 α
  2. α = m 1 R 1 g - m 2 R 2 g I + m 2 R 2 2 + m 1 R 1 2
  3. m 1 R 1 = m 2 R 2

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