Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

Ver Teoria

Enunciado

Um disco de raio R e massa M encontra-se fixado a uma parede vertical em um pino que passa pelo seu centro. Um cabo de massa desprezível passando pela sua periferia tem na sua extremidade um bloco de massa m sobre uma superfície horizontal. O cabo é puxado por uma força constante F → , ergendo o bloco de uma altura h , como mostra a figura. Desprezando-se o efeito de atrito entre o pino e o disco e considerando que o bloco e o disco estavam em repouso no momento em que a força F → começou a agira calcule:

  1. A aceleração com que o bloco é erguido;
  2. O módulo da tração que age sobre o trecho do cabo entre o disco e o bloco;
  3. A energia cinética adquirida pelo disco imediatamente após o bloco ser erguido da altura h .

Dado: o momento de inércia do disco para um eixo que passa perpendicularmente ao disco e pelo seu centro é 1 / 2 m R 2 .

Passo 1

a)

Vamos começar fazendo o DCL do bloco

Considerando que o bloco está subindo, vamos chamar o módulo da aceleração do bloco de a

T - P = m a

T - m g = m a

Passo 2

Vamos agora ver as forças que produzem torque no disco, já que vamos nos preocupar só com a rotação

Vamos ter

∑ τ = T ⋅ R - F ⋅ R

Como já vimos o momento de inercia de um disco vai ser

I = M R 2 2

Além disso como o bloco está subindo o disco roda no sentido horário, considerando o módulo a aceleração angular como α . Além disso temos a relação

a = α R

Isso tudo resulta em

∑ τ = - I α

T R - F R = - M R 2 2 ⋅ a R

F - T = M a 2

Passo 3

Temos as equações

T - m g = m a F - T = M a 2

Somando as duas equações

T - m g + F - T = m a + M a 2

F - m g = m + M 2 a

a = F - m g m + M / 2  

Passo 4

A tração nesse ponto pode ser encontrada usando a primeira equação

T - m g = m a

T - m g = m F - m g m + M / 2  

T = m g + m F - m g m + M / 2  

T = m g + F - m g m + M / 2  

T = m m g + M g / 2 m + M / 2   + F - m g m + M / 2  

T = m F + M g / 2 m + M / 2  

Passo 5

c)

A energia cinética final é

K f = I ω f 2 2

Como o movimento do disco é com aceleração angular constante temos um movimento uniformemente variado, usando Torricelli

ω f 2 = ω 0 2 + 2 α Δ θ

ω f 2 = 2 α Δ θ

Usamos a equação de Torricelli porque a variação de energia cinética tem a diferença das velocidades angulares como a equação de Torricelli. Vamos ter

K f = I 2 α Δ θ 2 = α I Δ θ

Passo 6

O momento de inércia já sabemos

I = M R 2 2

Se o bloco sobe h podemos relacionar essa altura com a variação angular do disco

h = Δ θ R

Além disso temos a aceleração angular

α = a R

α = F - m g R m + M / 2

Juntando tudo

K f = F - m g R m + M / 2 ⋅ M R 2 2 ⋅ h R

K f = M F - m g 2 m + M / 2 h

Resposta

  1. a = F - m g m + M / 2  
  2. T = m F + M g / 2 m + M / 2  
  3. K f = M F - m g 2 m + M / 2 h

Exercícios de Livros Relacionados

Um dispositivo para medir o momento de inércia de um corpo é mostrado na figura. A plataforma circular está presa a um tambor concêntrico de raio R , plataforma e tambor estando livres para girar em t
Um cilindro de uniforme, de massa M e raio R , tem um fio enrolado no seu entorno. O fio é mantido fixo, enquanto o cilindro cai verticalmente, como mostrado na figura. (a) Mostre que a aceleração do
A extremidade superior do fio enrolado em redor do cilindro da figura está segura por uma mão que acelera para cima, de modo que o centro de massa do cilindro não se move, enquanto o cilindro gira. De
Calcule o efeito da massa M da polia, de raio R , sobre o sistema do Cap. 4, Probl. 12 (fig); a masssa m , que desliza sem atrito está ligado à massa suspensa m ' pelo fio que passa sobre a polia. Det
Um bloco de massa m , que pode deslizar com atrito desprezível sobre um plano inclinado de inclinação θ em relação à horizontal, está ligado por um fio, que passa sobre uma polia de raio R e massa M ,