Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

Ver Teoria

Enunciado

Dois cilindros de raios diferentes são unidos conforme a figura, sendo o raio do cilindro menor r e do cilindro maior 2 r . Fios ideais, que não escorregam, são enrolados em cada um dos cilindros e na outra extremidade de cada um dos fio é pendurada uma massa m . Este sistema é colocado para girar ao redor de um eixo de rotação horizontal, sem atrito. O momento de inércia deste sistema torno do eixo vale I = 5 m r 2 . O sistema inicialmente se encontra em repouso. Após deixarmos os pesos cair, determine a aceleração angular deste sistema utilizando as leis de Newton em termos de g , a aceleração da gravidade, e de r . NÃO substitua g por valores numéricos.

Passo 1

Para achar a aceleração angular α do eixo, devemos aplicar a Segunda Lei de Newton para rotações:

τ R = I α

Passo 2

Vamos olhar para a vista de perfil.

Cada bloquinho está tentando girar o eixo para um lado diferente, concorda?

Eles estão gerando uma força de tração no fio igual aos seus pesos m g .

Quanto mais afastado do eixo de rotação, maior o torque. Então o eixo vai girar no sentido horário.

Mas fique tranquilo quanto ao sinal, nós queremos apenas o módulo da aceleração angular α . Porém é importante colocar sinais trocados para os dois torques, já que cada um tenta girar o eixo num sentido diferente.

Passo 3

O raio do cilindro maior é 2 r :

Então o torque da força mais à direita é:

τ = m g 2 r → s e n t i d o   h o r á r i o

Enquanto o raio do cilindro menor é r .

Então o torque da força mais à esquerda é:

τ = m g r → s e n t i d o   a n t i h o r á r i o

Considerando o sentido horário positivo, temos:

τ R = I α

m g 2 r - m g r = I α

Passo 4

Substituindo o momento de inércia dado no enunciado, temos:

2 m g r - m g r = 5 m r 2 α

m g r = 5 m r 2 α

α = m g r 5 m r 2

Assim, achamos que:

α = g 5 r

Resposta

α = g 5 r

Exercícios de Livros Relacionados

Um dispositivo para medir o momento de inércia de um corpo é mostrado na figura. A plataforma circular está presa a um tambor concêntrico de raio R , plataforma e tambor estando livres para girar em t
Um cilindro de uniforme, de massa M e raio R , tem um fio enrolado no seu entorno. O fio é mantido fixo, enquanto o cilindro cai verticalmente, como mostrado na figura. (a) Mostre que a aceleração do
A extremidade superior do fio enrolado em redor do cilindro da figura está segura por uma mão que acelera para cima, de modo que o centro de massa do cilindro não se move, enquanto o cilindro gira. De
Calcule o efeito da massa M da polia, de raio R , sobre o sistema do Cap. 4, Probl. 12 (fig); a masssa m , que desliza sem atrito está ligado à massa suspensa m ' pelo fio que passa sobre a polia. Det
Um bloco de massa m , que pode deslizar com atrito desprezível sobre um plano inclinado de inclinação θ em relação à horizontal, está ligado por um fio, que passa sobre uma polia de raio R e massa M ,