Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

Os blocos de massas m 1 e m 2 estão conectados por uma corda sem massa que passa por uma polia, como mostrado na figura. A polia é um disco homogêneo que pode girar em torno do seu eixo sem atrito. A massa m 1 desliza sem atrito sobre uma superfície horizontal. Os dois blocos estão em repouso quando a massa m 2 é liberada.

a) suponha que a massa da polia seja desprezível. Encontre as acelerações dos blocos m 1 e m 2 e a tensão na corda.

b) Suponha agora que a massa da polia é m p e seu raio é R. Encontre a aceleração de m 1 e as tensões nas partes vertical e horizontal da corda. Verifique que seus resultados condizem com os obtidos no item a) quando você faz m p =0

Passo 1

Na letra a), a massa da polia é considerada como desprezível, ou seja, temos uma polia ideal. Então, o que faremos aqui, é o que já fazíamos nos capítulos anteriores. Vamos fazer o famoso DCL dos dois blocos e resolver a questão por segunda lei de newton.

Daonde teremos pela segunda lei:

F R → = m a →

T = m 1 a       ( 1 )

Já para o segundo bloco teremos:

E pela segunda lei:

F R → = m 2 a →

P - T = m 2 a

m 2 g - T = m 2 a           ( 2 )

Os dois blocos possuirão a mesma aceleração ( a ) pois estão ligados por uma corda inextensível, e a tração nos dois blocos é a mesma, pois a polia é ideal.

Substituindo a tração da primeira equação na segunda teremos:

m 2 g - m 1 a = m 2 a

m 2 g = m 2 a + m 1 a

m 2 g = m 2 + m 1 a

Daonde encontramos a aceleração dos blocos:

a = m 2 g m 2 + m 1

Substituindo essa aceleração na primeira equação teremos:

T = m 1 m 2 g m 1 + m 2

Passo 2

Na letra b), a parada complica um bocado, pois agora a polia possui massa e ela não é mais ideal. Agora que ela possui massa, precisaremos fazer o DCL também para a polia!!

A primeira diferença gritante que encontramos aqui é que as trações não são mais as mesmas. Pois como precisamos de um torque resultante, é necessário que T 1 seja diferente de T 2 .

A polia é um corpo que está livre para rodar, por isso, iremos realizar a segunda lei de Newton para a rotação nela, que é:

τ R → = I α →

O momento de inércia da polia é o mesmo momento de inércia para um disco homogêneo em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa, que é tabelado:

I c m = 1 2 M R 2

Analisando o torque gerado por cada tração e levando em consideração a direção do torque (vamos considerar a direção da aceleração angular como positiva, ou seja, a direção horária), teremos:

τ 2 - τ 1 = 1 2 m p R 2 α

R T 2 s e n 90 º   -   R T 1 s e n 90 º = 1 2 m p R 2 α

R T 2 - T 1 = 1 2 m p R 2 α

α = 2 ( T 2 - T 1 ) m p R

Passo 3

Agora, faremos o DCL e a segunda lei para cada um dos blocos:

T 1 = m 1 a

P - T 2 = m 2 a

T 2 = P - m 2 a

T 2 = m 2 g - m 2 a = m 2   ( g - a )

Passo 4

Agora, a grande sacada para resolver questão de polia não ideal é saber relacionar a aceleração angular com a aceleração linear, repara só:

Podemos encontrar a aceleração linear de um ponto de um corpo, sabendo a aceleração angular α dele e a distância R   do ponto com o eixo de rotação, pela fórmula:

a = α R

Ou

α = a R

E repara que essa aceleração, que está desenhada no corpo acima, é a mesma aceleração do bloco da horizontal e também a mesma aceleração do bloco da vertical.

Substituindo na equação da segunda lei para a polia teremos:

a R = 2 T 2 - T 1 m p R

a = 2 T 2 - T 1 m p

Ficamos assim com as seguintes equações:

a = 2 T 2 - T 1 m p               1

T 1 = m 1 a                                       ( 2 )

T 2 = m 2 ( g - a )               3

Passo 5

Agora é só brincar com essas 3 equações para encontrarmos os valores.

Substituindo as trações das equações 2 e 3 na equação 1, teremos:

a = 2 m 2 g - m 2 a - m 1 a m p

Deixando a em evidência:

a m p = 2 m 2 g - 2 m 2 a - 2 m 1 a

a m p + 2 m 1 + 2 m 2 = 2 m 2 g

a = 2 m 2 g m p + 2 m 1 + 2 m 2

Agora dando uma ajeitada nessa fração, eu vou multiplicar em cima e embaixo por 1 2 :

a = m 2 g m 1 + m 2 + m p 2

As trações podem ser encontradas ao substituir essa aceleração lá nas equações 2 e 3:

T 1 = m 1 m 2 g m 1 + m 2 + m p 2

T 2 = m 2 g - m 2 2 g m 1 + m 2 + m p 2

T 2 = m 1 m 2 g + m 2 2 g + m p 2 m 2 g - m 2 2 g m 1 + m 2 + m p 2

T 2 = m 1 + m p 2 m 2 g m 1 + m 2 + m p 2  

Passo 6

Finalmente, o último passo dessa questão é verificar se esses resultados batem com os resultados encontrados lá no PASSO 1, quando a polia não tinha massa.

A aceleração encontrada no PASSO 5, sem considerar a massa da polia fica:

a = m 2 g m 1 + m 2 + 0 = m 2 g m 1 + m 2

Que é o mesmo valor encontrado no PASSO 1.

A duas trações também precisam ser iguais ao valor da tração encontrada lá no início:

T 1 = m 1 m 2 g m 1 + m 2 + 0 = m 1 m 2 g m 1 + m 2

T 2 =   m 1 + 0 m 2 g m 1 + m 2 + 0 = m 1 m 2 g m 1 + m 2

Vemos aí, que se m p for zero as duas trações são iguais e batem com o valor encontrado lá no PASSO 1.

Resposta

a)

a = m 2 g m 1 + m 2

T = m 1 m 2 g m 1 + m 2

b)

a = m 2 g m 1 + m 2 + m p 2

T 1 = m 1 m 2 g m 1 + m 2 + m p 2

T 2 = m 1 + m p 2 m 2 g m 1 + m 2 + m p 2

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