Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

UFRJ-P2-2012.1-Q1.

Considere dois discos um de raio Equation e de massa Equation e outro de raio Equation e de massa Equation unidos concentricamente formando um sistema (disco composto) rígido, cujo momento de inércia vale Equation quando gira livremente em torno do eixo fixo e perpendicular ao plano dos discos passando pelo centro. Duas massas, Equation e Equation , presas a cordas finas e inextensíveis enroladas na periferia dos discos de raios Equation e Equation respectivamente, fazem girar o disco composto quando soltas; considere que Equation é o módulo da aceleração local da gravidade.

  1. Isole os blocos e o disco composto e represente em um diagrama de corpo livre todas as forças, identificando-as, que atuam em cada um deles; use como referência a vista lateral do sistema.
  2. Escreva as equações do movimento de rotação do disco composto e de translação dos blocos.
  3. Determine a aceleração angular, Equation , do disco composto.
  4. Determine matematicamente a condição para que o sistema esteja em equilíbrio

Passo 1

a)

Vamos começar fazendo o DCL do bloco Equation .

Nesse caso, só vamos ter a tração e a força peso atuando.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora no bloco Equation será a mesma coisa que no bloco Equation , só os pesos e as trações que são diferentes:

Passo 3

No disco, o DCL é o seguinte:

Nesse caso, temos as duas forças de tração, o peso do disco e a força de reação do pino que chamei de Equation .

Passo 4

b)

Vamos considerar que o disco rola com aceleração angular Equation no sentido anti-horário. É importante, em questões mais complexas como essa, olharmos a rotação do disco direito e com calma.

Vamos ter:

Equation

Equation

Então:

Equation

Passo 5

Se o disco está rolando no sentido anti-horário, o bloco Equation está subindo e o bloco Equation está descendo. Chamando cada módulo da aceleração de Equation e Equation , as equações do movimento serão as seguintes.

Para o bloco Equation :

Equation

Lembrando que:

Equation

Resultando em:

Equation

Passo 6

Agora para o bloco Equation :

Equation

Equation

Lembrando que:

Equation

Resultando em:

Equation

Passo 7

c)

Temos as seguintes equações:

Equation

Multiplicando a segunda equação por Equation e a terceira equação por Equation :

Equation

Agora somando todas as equações vamos ter:

Equation

Equation

Equation

Passo 8

Para que o sistema esteja em equilíbrio, devemos ter:

Equation

Então:

Equation

Equation

Equation

Resposta

  1. Equation
  2. Equation
  3. Equation

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