Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

Considere o sistema mostrado na figura abaixo. A massa m , que desliza sem atrito, está ligada à massa suspensa m ' pelo fio que passa sem deslizar sobre uma polia homongênea de massa M e raio R . A polia gira sem atrito sobre um eixo horizontal, perpendicular ao plano da polia, que passa por seu centro de massa. A aceleração da gravidade é dada por g e o momento de inércia da polia em relação ao eixo mencionado vale 1 2 M R ² . A aceleração a da massa m , em termos de m , m ' , M e g é:

  1. a = m ' g m ' + m + M 2
  2. a = m ' g m ' + m + M
  3. a = 2 m ' g m ' + m + M
  4. a = m g m ' + m + M 2
  5. a = m g m ' + m + m
  6. a = 2 m g m ' + m + M
  7. a = M g m ' + m + M 2
  8. a = M g m ' + m + M
  9. a = 2 M g m ' + m + M

Passo 1

Bora lá, pessoal! Essa questão já é bem manjada e tal! Então vale a pena você ficar seguro pra resolvê-la pois a probabilidade dela cair na sua prova é bem alta!

Foca aí!

O primeiro passo na hora de resolver essas questõezinhas é isolar as forças nos dois blocos e na polia! Saca só:

Para o bloco de massa m , teremos:

Para o bloco de massa m ' , vai ficar:

Já pra polia, a gente vai ter:

Mas véi, pera aí! E essas duas forças aí no meio?

Assim, no fim das contas ela não vai mudar nada nas suas contas. Elas só mostram que a polia está fixa, não translada devido àquele pino.

Passo 2

Beleza! Próximo passo é escrever as equações da 2ª Lei de Newton para cada um.

Bloco m :

Como ele só é arrastado na direção horizontal, podemos só considerar a equação em x , que será:

T 1 = m a

Bloco m ' :

Como ele só é puxado na direção vertical, podemos considerar só a equação em y , logo a gente vai ter:

- T 2 + P = m ' a

- T 2 = m ' g + m ' a = m ' ( g + a )

T 2 = - m ' ( g + a )

(Nesse caso coloquei como sendo positivo as forças apontando para baixo).

Bloco M :

Aqui vamos aplicar a Segunda Lei de Newton para rotação, que no caso é dada por:

τ = I . α

Passo 3

O torque τ por sua vez pode ser calculado pelas forças que as trações fazem nele, certo?

τ = T 2 R - T 1 R

Mas véi, como você definiu quem era positivo ou negativo?

Coloquei como positivo o torque a favor do movimento, no caso T 1 R resiste contra o movimento o movimento do bloco descer. Deu pra entender?

τ = T 2 - T 1 R = I . α

Passo 4

Se liga que ele deu o nosso I .

I = 1 2 M R ²

E o α , sabemos que ele vem da relação:

a = α R

Logo:

α = a R

Assim...

T 2 - T 1 R = 1 2 M R 2 . a R

T 2 - T 1 = 1 2 M a

Passo 5

Agora, é só pegar os valores de T 1 e T 2 lá do passo 2 .

T 1 = m a

T 2 = - m ' ( a + g )

- m ' a + g - m a = 1 2 M a

Isolando o a vai ficar:

a = m ' g m ' + m + M 2

:D~

Resposta

Letra a

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