Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

Ver Teoria

Enunciado

Dois blocos de massa m 1 e m 2 são conectados por uma corda inextensível sem massa por uma polia de massa M e momento angular I e raio R , que gira em torno do seu eixo de simetria, em um plano inclinado com atrito dinâmico μ . O conjunto se move com m 2 se movendo para baixo e m 1 se movendo para cima. Considerando que a segunda lei de Newton fornece as equações do movimento de um corpo:

a) (1 ponto) Escreva a equação de movimento para os blocos de massa m 1 e m 2 ;

b) (1 ponto) Escreva a equação de movimento para a polia de massa M ;

c) (1 ponto) A partir dos seus resultados nos itens anteriores, calcule a aceleração linear do sistema e as trações no fio;

Passo 1

a)

Nessa letra, a prova nos pede para escrever a equação do movimento para os nossos lindos blocos. Vamos então, fazer o Diagrama do Corpo Livre para cada um deles.

Mas antes, vamos dar uma olhada no enunciado. Lá diz que o bloco m 1 se move para cima e m 2 para baixo. Usaremos isso, para estipular a direção que será o positivo e a direção da força de atrito, ok ??

Ah, só mais uma coisinha. As trações não serão a mesma. Então iremos trabalhar com uma T 1 e T 2 . Isso ocorre por que a polia não é ideal. Beleza?

Então, bora lá. Vamos olhar o bloco m 1 :

Primeira coisa que vamos fazer, é colocar esse peso na direção do plano inclinado:

P 1 _ x = P 1 s e n θ 1

P 1   y = P 1 c o s θ 1

Agora que decompomos o peso, é só aplicar Newton para cada direção.

Em y:

N 1 =   P 1 c o s θ 1

N 1 = m 1 g c o s θ 1

Em x:

T 1 - P 1 s e n θ 1 - F a t   1 = m 1 a

T 1 - m 1 g s e n θ 1 - N 1 μ = m 1 a

T 1 - m 1 g s e n θ 1 - m 1 g c o s θ 1 μ = m 1 a

Show, chegamos nessa expressão pro bloco m 1 . Partiu bloco m 2 ??

E repetindo os mesmos procedimentos, tudinho igual, vamos ter:

Em y:

N 2 = m 2 g c o s θ 2

Em x:

P 2 s e n θ 2 - T 2 - F a t   2 = m 2 a

m 2 g s e n θ 2 - T 2 - m 2 g c o s θ 2 μ = m 2 a

Passo 2

b)

Agora chegou a hora da polia brilhar.

A ideia é a mesma, aplicar a segunda lei de Newton, mas agora, queremos o caso rotacional.

First things first, bora de diagrama do corpo livre.

Sabemos que o movimento ocorre para a direita, logo a polia rotacional no sentido horário. Aplicando Newton:

τ R e s = I α

T 2 R - T 1 R = I α

T 2 - T 1 R = I α

Podemos relacionar a aceleração angular da polia com a aceleração linear dos blocos por meio de

a = α R → α = a R

Assim

T 2 - T 1 R = I a R

Passo 3

c)

Então, essa questão aqui, ela só quer que você pegue tudo que você fez, e junta.

Nós temos que:

T 1 = m 1 a + m 1 g s e n θ 1 + m 1 g c o s θ 1 μ  

T 2 = - m 2 a - m 2 g c o s θ 2 μ +   m 2 g s e n θ 2

T 2 - T 1 R = I a R → T 2 - T 1 = I a R 2

Se a gente subtrair...

T 2 - T 1 = - m 1 + m 2 a + g - m 1 s e n θ 1 + m 2 s e n θ 2 + g μ - m 1 c o s θ 1 - m 2 cos ⁡ θ 2

E isso é justamente o que aparece do lado esquerdo da terceira equação. Assim

T 2 - T 1 = I a R 2

- m 1 + m 2 a + g - m 1 s e n θ 1 + m 2 s e n θ 2 + g μ - m 1 c o s θ 1 - m 2 cos ⁡ θ 2 = I a R 2

Agora temos “só” que isolar a

g - m 1 s e n θ 1 + m 2 s e n θ 2 + g μ - m 1 c o s θ 1 - m 2 cos ⁡ θ 2 = I a R 2 + m 1 + m 2 a

g - m 1 s e n θ 1 + m 2 s e n θ 2 + μ - m 1 c o s θ 1 - m 2 cos ⁡ θ 2 = I R 2 + m 1 + m 2 a

a = g - m 1 s e n θ 1 + m 2 s e n θ 2 + μ - m 1 c o s θ 1 - m 2 cos ⁡ θ 2 I R 2 + m 1 + m 2

E saiu esse bicho feio kkkk

Agora é só substituir essa a nas primeira e segunda equações! Mas só substituir mesmo! Não precisa ficar quebrando cabeça pra ver se vai cortar alguma coisa hahaha

T 1 = m 1 g - m 1 s e n θ 1 + m 2 s e n θ 2 + μ - m 1 c o s θ 1 - m 2 cos ⁡ θ 2 I R 2 + m 1 + m 2 + m 1 g s e n θ 1 + m 1 g c o s θ 1 μ  

T 2 = - m 2 g - m 1 s e n θ 1 + m 2 s e n θ 2 + μ - m 1 c o s θ 1 - m 2 cos ⁡ θ 2 I R 2 + m 1 + m 2 - m 2 g c o s θ 2 μ +   m 2 g s e n θ 2

Resposta

a) T 1 - m 1 g s e n θ 1 - m 1 g c o s θ 1 μ = m 1 a

m 2 g s e n θ 2 - T 2 - m 2 g c o s θ 2 μ = m 2 a

b)

T 2 - T 1 R = I a R

c)

a = g - m 1 s e n θ 1 + m 2 s e n θ 2 + μ - m 1 c o s θ 1 - m 2 cos ⁡ θ 2 I R 2 + m 1 + m 2

T 1 = m 1 g - m 1 s e n θ 1 + m 2 s e n θ 2 + μ - m 1 c o s θ 1 - m 2 cos ⁡ θ 2 I R 2 + m 1 + m 2 + m 1 g s e n θ 1 + m 1 g c o s θ 1 μ  

T 2 = - m 2 g - m 1 s e n θ 1 + m 2 s e n θ 2 + μ - m 1 c o s θ 1 - m 2 cos ⁡ θ 2 I R 2 + m 1 + m 2 - m 2 g c o s θ 2 μ +   m 2 g s e n θ 2

Exercícios de Livros Relacionados

Um dispositivo para medir o momento de inércia de um corpo é mostrado na figura. A plataforma circular está presa a um tambor concêntrico de raio R , plataforma e tambor estando livres para girar em t
Um cilindro de uniforme, de massa M e raio R , tem um fio enrolado no seu entorno. O fio é mantido fixo, enquanto o cilindro cai verticalmente, como mostrado na figura. (a) Mostre que a aceleração do
A extremidade superior do fio enrolado em redor do cilindro da figura está segura por uma mão que acelera para cima, de modo que o centro de massa do cilindro não se move, enquanto o cilindro gira. De
Calcule o efeito da massa M da polia, de raio R , sobre o sistema do Cap. 4, Probl. 12 (fig); a masssa m , que desliza sem atrito está ligado à massa suspensa m ' pelo fio que passa sobre a polia. Det
Um bloco de massa m , que pode deslizar com atrito desprezível sobre um plano inclinado de inclinação θ em relação à horizontal, está ligado por um fio, que passa sobre uma polia de raio R e massa M ,