Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

Um elevador pode ser representado esquematicamente como um bloco de massa m 1 = 1100   k g para indicar a cabine (caixa de metal + carga), um bloco de massa m 2 = 1000   k g representa um contra-peso para a cabine e uma polia de raio R = 0,2   m cujo momento de inércia é I . Um motor está acoplado a polia e pode realizar um torque τ para tracionar os cabos (considerados ideais). O módulo da tração sobre a massa m 1 é T 1 , enquanto T 2 é a tração sobre m 2 . Considere que os cabos não deslizam sobre a polia e utilize g = 10   m / s 2 .

(a) Represente diagramaticamente todas as forças que atuam sobre as massas m 1 e m 2 e os torques sobre a polia.

(b) Escreva a segunda lei de Newton as massas m 1 , m 2 e a polia em termos da aceleração a da massa m 1 .

(c) Considere que a polia move-se com velocidade angular constante, de módulo ω = 5   r a d / s . Qual é o módulo da potência que deve ser aplicada ao motor?

Passo 1

Na letra (a), queremos o diagrama de forças sobre os corpos.

Elevador:

Contra-Peso:

Roldana:

Sobre a roldana, existem uma força de tração de cada lado puxando-a para baixo.

Essas forças de tração apresentam o mesmo módulo de T 1 e T 2 , porém, representamos como T 1 ' e T 2 ' pois os vetores apontam em direção diferente dos vetores T → 1 e T → 2 :

Para evitar que essa roldana seja puxada para baixo, temos uma força normal N → para cima:

Além disso, a questão pede para respresentar os torques sobre a roldana.

A força N → não gera torque, pois está aplicada no centro de rotação da roldana.

A força T 1 ' gera um torque no sentido anti-horário, enquanto T 2 ' gera um torque no sentido horário.

Fora esses, ainda temos um torque do motor sobre a roldana que tenta fazer o elevador subir, girando no sentido horário:

Passo 2

Na letra (b), queremos a segunda lei de Newton para cada corpo.

Devemos prestar atenção no sentido da aceleração (cima ou baixo).

Além disso, como o cabo é inextensível, o movimento do contra-peso e do elevador acontecem exatamente com um mesmo deslocamento, velocidade e aceleração. Por isso:

a 1 = a 2 = a

Para o elevador,

como ele está subindo, sua aceleração é para cima:

T 1 - P 1 = m 1 a

Para o contra-peso,

Como ele está descendo, sua aceleração é para baixo. Vamos considerar esse sentido positivo:

P 2 - T 2 = m 2 a

Passo 3

Já na roldana, não há translação, existe apenas rotação.

Logo, vamos aplicar a segunda Lei de Newton para rotação:

τ 1 + τ 2 + τ N + τ = I α

Como N → está aplicada no centro de rotação, seu torque é nulo.

τ N = 0

Tanto a força T 1 ' quanto a força T 2 ' estão perpendiculares aos vetores posição r → :

Então os módulos dos torques são:

τ 1 = R T 1 '

τ 2 = R T 2 '

Mas não podemos nos esquecer do sinal dos torques.

Se a roldana gira no sentido horário, o sentido positivo de sua aceleração angular α será no sentido horário, então:

- R T 1 ' + R T 2 ' + 0 + τ = I α

R T 2 ' - T 1 ' + τ = I α

Lembrando que os módulos da força de tração são iguais em cada lado da corda:

T 1 ' = T 1 T 2 ' = T 2

R T 2 - T 1 + τ = I α

Mas antes de respondermos, existe mais um detalhe...

Passo 4

A expressão deve estar em função da aceleração a .

Como não há delizamento, a aceleração de um ponto da borda da polia será a mesma aceleração da corda e consequentemente dos blocos a .

Podemos relacioná-las com:

a = α R

α = a R

Substituindo na expressão da Segunda Lei de Newton para a roldana, temos:

R T 2 - T 1 + τ = I a R

Respondemos a letra (b).

Passo 5

Na letra (c), queremos a potência do motor se a velocidade angular da polia for ω = 5   r a d / s .

Beleza, mas como que achamos a potência do motor??

Vamos calcular usando a expressão:

P = τ ω

Ué... mas de onde vem isso?

Bom, existem umas manipulações a partir da equação de potência que chegam a isso.

Lembrando que é com a prática que você começaria a enxergar isso. Pra quem nunca viu dessa forma, realmente é mais difícil advinhar essas manipulações.

Vamos lá!

P = W ∆ t

Sabemos que o trabalho é o produto entre uma força F e um deslocamento ∆ S :

P = F × ∆ S ∆ t

P = F × ∆ S ∆ t

P = F × v

Agora, vamos usar uma malandragem de multiplicar em cima e em baixo pelo raio r :

P = F × v r r

P = r F × v r

O primeiro produto é igual a torque τ e o segundo é igual a ω :

P = τ ω

Passo 6

Já temos o nosso ω , basta achar o τ .

Bom, se a velocidade é constante, não há aceleração no sistema.

Ou seja, tanto a roldana, quanto o elevador, quanto o contra-peso se movem sem aceleração.

Então, nossas equações ficam assim.

Elevador:

T 1 - P 1 = m 1 a

T 1 - P 1 = 0

T 1 = P 1

Contra-peso:

P 2 - T 2 = m 2 a

P 2 - T 2 = 0

T 2 = P 2

Roldana:

R T 2 - T 1 + τ = I a R

R T 2 - T 1 + τ = 0

τ = - R T 2 - T 1

τ = R T 1 - T 2

Juntando tudo:

T 1 = P 1 T 2 = P 2 τ = R T 1 - T 2

Passo 7

Substituindo a primeira e segunda equações na terceira, temos:

τ = R P 1 - P 2

τ = R m 1 g - m 2 g

τ = R g m 1 - m 2

Substituindo os valores, temos:

τ = 0,2 10 1100 - 1000

τ = 200   N m

Passo 8

Agora, podemos calcular a potência para uma velocidade angular de 5   r a d / s .

P = τ ω

P = 200 5

P = 1000   W

Resposta

(a)

Elevador:

Contra-Peso:

Roldana:

(b)

T 1 - P 1 = m 1 a

P 2 - T 2 = m 2 a

R T 2 - T 1 + τ = I a R

(c) P = 1000   W

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