Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

O objeto ilustrado ao lado é composto por um cilindro de raio R , uma haste rígida e dois discos afastados do eixo de rotação. O objeto tem momento de inércia I . Ao longo do perímetro do cilindro está enrolada uma corda inextensível de massa desprezível. Outra parte desta corda está enrolada em uma roldana de raio R / 2 e momento de inércia I / 100 . Na extremidade da corda está uma pequeno cubo de massa M , distante A de um suporte. Não há deslizamento na corda. Inicialmente o sistema é mantido em repouso através de um freio. No instante t   =   0 o freio é retirado e o sistema inicia seu movimento. Utilize g para a aceleração da gravidade.

b) Determine a razão entre os módulos das acelerações angulares da roldana α R e do objeto α O .

c) Determine o módulo da aceleração linear a com que o cubo cai em função dos parâmetros dados.

Passo 1

Quando o freio é retirado, o bloquinho começa a descer devido à ação da gravidade.

E consequentemente, ele puxa a corda que faz a roldana e aquele objeto estranho entrarem em rotação.

Deu pra entender melhor?

Passo 2

Na letra (b), queremos a razão entre as acelerações angulares da roldana e do objeto.

O que está conectando a roldana ao objeto?

É a corda enrolada na extremidade de cada um deles, né.

Bom, a corda tem uma mesma aceleração linear a . Ou seja, tanto a roldana quanto o objeto apresentam a mesma aceleração tangencial a .

Podemos ainda relacionar a aceleração tangencial a com a aceleração angular α de cada um deles a partir de:

a = α r

Onde r será o raio de cada um deles.

Então, temos:

a = α R R 2 a = α O R

Igualando os dois:

α R R 2 = α O R

α R α O = R R 2

α R α O = 2

Passo 3

Na letra (c), queremos a aceleração linear a do cubo.

Para isso, vamos aplicar a Segunda Lei de Newton nos três corpos que estão entrando em movimento de translação ou rotação (bloquinho, roldana e objeto).

Para o bloquinho, temos a força peso e força de tração atuando sobre ele:

P - T 1 = M a

M g - T 1 = M a

Passo 4

Sobre a roldana, temos as duas forças de tração:

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para rotação:

τ = I α

O momento de inércia da roldana é I / 100 :

τ R = I 100 α R

E quem é o torque resultante sobre a roldana τ R ?

Passo 5

O torque é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição r → e o vetor força T → :

τ → = r → × T →

Como esses vetores são perpendiculares, o módulo do torque é dado por:

τ = r F

Considerando o sentido horário positivo (sentido da aceleração da roldana), o torque resultante será:

τ 1 - τ 2 = I 100 α R

O raio da roldana é R / 2 :

R 2 T 1 - R 2 T 2 = I 100 α R

R 2 T 1 - T 2 = I 100 α R

Passo 6

Para o objeto, a situação é parecida.

Como o momento de inércia do objeto é I , a segunda lei de Newton para rotação fica:

τ O = I α O

Olhando ele por cima, vemos:

O raio do objeto é R , então o torque resultante τ O fica:

R T 2 = I α O

Passo 7

Ficamos com esse sisteminha aqui:

M g - T 1 = M a R 2 T 1 - T 2 = I 100 α R R T 2 = I α O

Como queremos achar a aceleração do bloco a , vamos substituir as acelerações angulares α através da relação do item (b). a = α R R 2 a = α O R

Para a roldana:

a = α R R 2

α R = 2 a R

Para o objeto:

a = α O R

α O = a R

Substituindo isso no nosso sistema:

M g - T 1 = M a R 2 T 1 - T 2 = I 100 2 a R R T 2 = I a R

Agora, vamos trabalhar as equações para encontrar a .

Vamos passar o R / 2 e o R para o lado direito das equações.

M g - T 1 = M a T 1 - T 2 = I 100 4 a R 2 T 2 = I a R 2

Passo 8

Substituindo a terceira equação na segunda, temos:

T 1 - I a R 2 = I a 25 R 2

T 1 = I a R 2 1 25 + 1

T 1 = I a R 2 26 25

Substituindo o valor de T 1 na primeira equação:

M g - 26 I a 25 R 2 = M a

M a + 26 I a 25 R 2 = M g

a M + 26 I 25 R 2 = M g

a = M g M + 26 I 25 R 2

Resposta

(b)

α R α O = 2

(c)

a = M g M + 26 I 25 R 2

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