Exercícios Resolvidos de Polias Não-Ideais

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Enunciado

Uma roldana tem a forma de um disco uniforme de massa 4,0   k g e raio 0,20   m (ver figura). A roldana está presa ao teto e gira livremente ao redor do seu centro. Um fio ideal passa pela roldana sem deslizar. Este fio está preso aos blocos 1 e 2 , de modo que os módulos das tensões indicadas valem, respectivamente, T 1 = 10   N e T 1 = 20   N

Dados: Considere g   =   10   m / s 2 e utilize que o momento de inércia de um disco uniforme de massa M e raio R em relação ao eixo que passa no seu centro de massa e é perpendicular à sua superfície é I C M = M R 2 / 2 .

Calcule

  1. O módulo do torque devido à T 2 , em relação ao centro de massa da roldana
  2. O módulo da aceleração angular que a roldana está sujeita

Passo 1

Temos que o torque é dado por

τ → 2 = r → × T → 2

Esse r → é o vetor que aponta do centro de rotação até o ponto onde a força T → 2 atua. No nosso caso esse vetor r → é horizontal e dado por

r → = R x ^

E o vetor T → 2 é um vetor vertical apontando para baixo

T → 2 = - T 2 y ^

De forma que o torque fica

τ → 2 = r → × T → 2 = - R T 2 x ^ × y ^

τ → 2 = - R T 2 z ^

E seu módulo é dado por

τ → 2 = R T 2 = 0,2 × 20

τ → 2 = 4   N . m

Passo 2

Temos que a aceleração angular se relaciona com torque total por

τ → = I α → → τ → = I α →

Onde I = M R 2 / 2 (dado pelo enunciado) é o momento de inércia.

Só que esse é o torque total, ou seja, devido às tensões 1 e 2 .

τ → = τ → 1 + τ → 2

No item anterior, já calculamos a contribuição da tensão 2 . Agora falta a o torque da tensão 1 .

τ → 1 = r → × T → 1

Dessa vez o vetor r → aponta para a esquerda, ou seja,

r → = - R x ^

E o vetor T → 1 aponta na direção vertical para baixo

T → 1 = - T 1 y ^

De forma que

τ → 1 = r → × T → 1 = R T 1 x ^ × y ^

τ → 1 = R T 1 z ^ = 0,2 × 10   z ^

τ → 1 = 2   z ^     N . m

De forma que o torque total é dado por

τ → = τ → 1 + τ → 2 = 2 z ^ - 4 z ^

τ → = - 2   z ^         N . m

Passo 3

Agora podemos calcular a aceleração angular

τ → = M R 2 2 α → → α → = 2 τ → M R 2 = 2 × 2 4 × 0,2 2

α → = 25   r a d / s 2

Resposta

(A) 4   N . m

(B) 25   r a d / s 2

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