Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

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Enunciado

Uma certa forma de câncer ocorre à razão de 3 em 1000 pessoas. Desenvolveu-se um teste para

detectar a doença, se um paciente é sadio existe 4% de chance de um alarme falso, e se um paciente tem a doença existe 3% de chance de que o teste não consiga detectá-la.

Pede-se

a) Fazer o diagrama de Venn.

b) Qual a probabilidade de a pessoa ter a doença sabendo que o resultado do teste foi positivo (acusou a existência da doença)?

Atenção – o resultado deste problema vai ser surpreendente.

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão de prova!

O primeiro passo é saber que a probabilidade de uma pessoa ter a doença é 0,003 , enquanto a probabilidade dela ser saudável é 0,997 . Vamos chamar de x a probabilidade de a pessoa ser doente, porém o teste dar errado (indicando que ela é saudável). Nesse caso, a probabilidade de uma pessoa ser doente e o teste indicar o resultado correto é 0,003 - x .

Da mesma forma, se y for a probabilidade de a pessoa ser saudável e o teste dar errado (indicando que ela é doente), temos que 0,997 - y é a probabilidade de pessoa ser saudável e o teste indicar um resultado correto (que ela não é doente). Com isso, construímos o diagrama de Venn:

Dentro do retângulo temos os testes errados e fora os testes certos. Os círculos representam as pessoas doentes e saudáveis. Repare que

0,003 - x + x + y + 0,997 - y = 1

O que faz total sentido, certo? A soma de todas as probabilidades deve ser um!

Passo 2

Se um paciente é sadio, existe 4 % de chance de um alarme falso. Como o paciente é sadio, o espaço amostral se reduz a 0,977 . A probabilidade de um teste dar errado dado que uma pessoa é saudável é

P e r r a d o     s a u d á v e l ) = P e r r a d o   e   s a u d á v e l P s a u d á v e l

Como P e r r a d o   e   s a u d á v e l = y e P s a u d á v e l = 0,997 , temos que

y 0,997 = 0,04 → y = 0,0399 → 0,997 - y = 0,9571

Por outro lado, caso o paciente tenha a doença, a probabilidade de o teste dar errado é 3 % = 0,03 . Assim,

x 0,003 = 0,03 → x = 0,0001 → 0,003 - x = 0,0029

Estou considerando 4 casas decimais, por isso o arredondamento. O diagrama de Venn completo fica:

Passo 3

No item (b), ele quer saber qual é a probabilidade de a pessoa ter a doença dado que o teste deu positivo. Primeiro calculamos a probabilidade de o teste dar positivo. Isso pode ocorrer de duas formas: a pessoa é doente e o teste dá certo ou a pessoa é saudável e o teste dá errado:

P p o s i t i v o = P d o e n t e   e   c e r t o + P s a u d á v e l   e   e r r a d o

Assim,

P p o s i t i v o = 0,0029 + 0,0399 = 0,0428

A probabilidade de a pessoa ter a doença dado que o teste deu positivo é

P d o e n t e     p o s i t i v o ) = P d o e n t e   e   c e r t o P p o s i t i v o = 0,0029 0,0428

Logo,

P d o e n t e     p o s i t i v o ) = 0,0678

Repare que o resultado é bem curioso: se você faz o teste e dá positivo, a chance de você estar doente ainda é bem baixa: 6,78 % . Isso está de acordo com a nota de rodapé do enunciado 😉.

Resposta

P d o e n t e     p o s i t i v o ) = 0,0678

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