Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

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Enunciado

15) Um comprimido é produzido em série numa empresa farmacêutica com peso médio de 1,400   m g e desvio padrão de 0,100   m g com distribuição normal. Os comprimidos passam por um controle de qualidade e os comprimidos com peso menor que 1,350   m g e peso maior que 1,519 são eliminados do lote. Qual a probabilidade de nesse lote restante retirarmos ao acaso um comprimido com peso entre os valores 1,350 e 1,400   m g ?

a) 0,19

b) 0,33

c) 0,38

d) 0,50

e) 0,98

Passo 1

Eaí gente, tudo certinho com vocês?

Nessa questão temos um comprimido cujo peso médio é uma variável aleatória contínua com distribuição normal. O enunciado nos fala que a média do peso vale 1,400   m g e desvio padrão de 0,100   m g .

Devido a um controle de qualidade, só podem ser comercializado os comprimidos com peso entre 1,350 e 1,519   m g . O nosso objetivo é calcular a probabilidade de, dado que no lote só há comprimidos entre 1,350   e 1,519 , retirarmos ao acaso um comprimido com peso entre 1,350 e 1,400   m g . Ou seja, temos uma probabilidade condicional!

Mas, como podemos calcular essa probabilidade condicional?

É só fazer:

P = P 1,350 < X < 1,400 P 1,350 < X < 1,519

Massa! Então bora pras contas!

Passo 2

Vamos começar calculando a probabilidade P ( 1,350 < X < 1,519 ) .

Se pensarmos nessa probabilidade pela função de densidade, estamos querendo calcular a área abaixo da curva entre X = 1,350 e X = 1,519 .

É como uma subtração entre toda a área antes de X = 1,519   m g e toda a área antes de X = 1,350 . Mas, como isso é a curva de densidade de probabilidade, essas áreas valem justamente P ( X < 1,519 ) e P ( X < 1,350 ) , respectivamente.

Massa! Concluímos que:

1,350 < X < 1,519 = P X < 1,519 - P ( X < 1,350 )

Show! Normalizando esses valores temos:

Z 1,519 = 1,519 - 1,400 0,100

⇒ Z 1,519 = 1,19 0

Logo, pela Tabela normal (muito importante essa tabela hein galera), temos:

P Z < 1,19 0 = 0,883

Analogamente, para X < 1,350 , temos:

Z 1,350 = 1,350 - 1,400 0,100 =   - 0,500

Usando a tabela normal, vem:

P Z < - 0,500 = 0,301

Excelente! Então finalizando essa primeira parte, temos:

P 1,350 < X < 1,519 = 0,883 - 0,301

⇒ P 1,350 < X < 1,519 = 0,582

Prontinho 😊

Passo 3

Vamos calcular agora P ( 1,350 < X < 1,400 ) . Usando o mesmo raciocínio do passo anterior, podemos escrever que:

P 1,350 < X < 1,400 = P X < 1,400 - P ( X < 1,350 )

Também do passo anterior, já sabemos que:

P X < 1,350 = 0,301

Além disso, lembra que 1,400 é justamente a média da distribuição normal. E, a probabilidade de termos X < μ n o r m a l é sempre 0,50 .

Daí, rapidamente temos que:

P 1,350 < X < 1,400 = 0,50 - 0,301

P 1,350 < X < 1,400 = 0,199

Muito bom pessoal! Tudo legal até aqui?

Já estamos com a faca e o queijo na mão, é só dar o golpe final! Lembra que:

P   = P 1,350 < X < 1,400 P 1,350 < X < 1,519

Daí, substituído os valores que encontramos, temos:

P = 0,199 0,582

Portantooo...

P = 0,33

Top galera! Essa foi a nossa questão, espero que vocês tenham entendido bem direitinho.

Até a próxima 😊

Resposta

Letra B: 0,33

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