Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

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Enunciado

Uma urna originalmente contém sete bolas brancas e cinco bolas pretas. Então uma das bolas, de cor desconhecida, some da urna. Se depois disso eu retiro outra bola da urna, e ela é de cor branca, a probabilidade de a bola que sumiu também ser de cor branca é:

Passo 1

Fala pessoal. Tudo bem? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Essa é bem bacana, pois envolve o teorema de Bayes!!

O que sabemos do nosso problema? Temos uma urna com:

7   Bolas brancas

5   Bolas pretas

Queremos saber a probabilidade de a bola que sumiu também ser de cor branca. Isto é, queremos saber a probabilidade da primeira bola retirada se branca dado que a segunda bola que retiramos foi branca. Em forma de equação podemos escrever como:

P 1 º   Branca   2 º   branca

Passo 2

Então pessoal, queremos calcular P 1 º   Branca   2 º   branca , mas seria interessante se existisse uma forma de relacionar essa probabilidade com a probabilidade P 2 º   branca   1 º   Branca , já que essa é mais simples de calcular. E aí, será que tem como?

Podemos usar o Teorema de Bayes!!!. O teorema diz o seguinte:

P A   B   =   P B     A P A P B

Dessa forma obtemos a seguinte relação:

P 1 º   branca   2 º   Branca   =   P 2 º   branca   1 º   Branca P 1 º   Branca P 2 º   Branca

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades!!!!

Passo 3

No passo anterior, chegamos a conclusão que

P 1 º   branca   2 º   Branca   =   P 2 º   branca   1 º   Branca P 1 º   Branca P 2 º   Branca

Vamos calcular cada probabilidade.

Começando pelo numerador

P 2 º   branca   1 º   Branca é a probabilidade de retirarmos uma segunda bola branca dado que já retiramos 1 bola branca.

No começo temos 12   bolas sendo 7   brancas, retiramos 1   branca. Então temos 11   bolas sendo 6   brancas. Dessa forma, a probabilidade de retirarmos uma bola branca dessa nova coleção de bolas é 6 11

Então temos que P 2 º   branca   1 º   Branca   =   6 11

Agora vamos para P   1 º   Branca  

P   1 º   Branca   =   7 12 pois temos 7   bolas brancas e na caixa tem 12   bolas.

⇒   P 2 º   branca   1 º   branca P 1 º   branca   =   6 11 ⋅ 7 12

Passo 4

No passo anterior calculamos ⇒ P 2 º   branca 1 º   branca P 1 º   branca . Agora, para finalizar, vamos calcular P 2 º   branca .

Quem será essa probabilidade? Vamos pensar nos casos em que a segunda bola é branca.

Podemos obter uma segunda bola branca de duas maneiras. Podemos retirar duas brancas, ou uma preta e uma branca. Então

P 2 º   branca   =   P retirar   2   brancas   +   P retirar   1   preta   e   uma   branca   =  

7 12 ⋅ 6 11   +   5 12 ⋅ 7 11

Substituindo os valores no teorema de Bayes obtemos

P 1 º   branca 2 º   Branca = P 2 º   branca   1 º   Branca P 1 º   Branca P 2 º   branca  

= 6 11 ⋅ 7 12 7 12 ⋅ 6 11   +   5 12 ⋅ 7 11

= 6 11 ⋅ 7 12 7 12

= 6 11

Prontinho, pessoal. Conseguimos terminar mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão, bons estudos!!!

Resposta

= 6 11

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