Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

P1-2017/1 UFRJ Questão 1

Três atiradores, Alberto, Bernardo e Carlos, atiram independentemente uma vez num alvo. Sabe-se que as probabilidades de acertar o alvo são 2/3 para Alberto, 3/4 para Bernardo e 1/2 para Carlos. Calcule a probabilidade

a) de que o alvo seja atingido;

b) de que somento um dos três acerte o alvo;

c) de no máximo um dos três acertar o alvo;

d) condicional de Alberto ter acertado dado que o alvo foi atingido por no máximo um dos três atiradores.

Passo 1

Como em todo bom problema de probest, precisamos ler direitinho o enunciado, e entender o que o cara tá pedindo pra gente.

Ele fala sobre três atiradores, fala que eles atiram independentemente, e dá a probabilidade de cada um deles acertar o tiro. Depois disso, nas letras ele pede várias probabilidades, e em todas elas ele relaciona os caras acertarem ou não o alvo.

Dessa forma, vamos criar quatro eventos logo de cara:

A = A l b e r t o   a c e r t a r   o   a l v o

B = B e r n a r d o   a c e r t a r   o   a l v o

C = C a r l o s   a c e r t a r   o   a l v o

D = O   a l v o   s e r   a t i n g i d o

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Passo 2

a) Calcule a probabilidade de que o alvo seja atingido;

Aqui ele pede pra gente calcular a prob. do alvo ser atingido. Concorda comigo que aqui eu posso fazer pelo complementar? Posso fazer 1 - P ( n i n g u é m   a c e r t a r ) . E quem seria essa probabilidade de ninguém acertar?

P A C ∩ B C ∩ C C

Ou seja, Alberto não acertar o alvo e Bernardo não acertar o alvo e Carlos não acertar o alvo. Sempre que temos o conectivo e usamos a interseção. E essas probabilidades eu já tenho!

Dessa forma, temos que

P D = 1 - P A C ∩ B C ∩ C C = 1 - P A C × P B C × P C C

P D = 1 - 1 3 × 1 4 × 1 2 = 23 24 ≈ 0,958

Passo 3

b) Calcule a probabilidade de que somento um dos três acerte o alvo;

Vou chamar aqui

E = o   a l v o   s e r   a t i n g i d o   p o r   s o m e n t e   u m   d o s   a t i r a d o r e s

E concorda comigo que então que

P E = P A C ∩ B C ∩ C + P A C ∩ B ∩ C C + P ( A ∩ B C ∩ C C )

Ou seja, ou somente Carlos acerta o alvo e os outros dois erram, ou somente Bernardo acerta ou só Alberto acerta. Por conta desse conectivo ou, eu vou somando as probabilidades.

Substituindo os valores, temos que:

P E = 1 3 × 1 4 × 1 2 + 1 3 × 3 4 × 1 2 + 2 3 × 1 4 × 1 2 = 1 + 3 + 2 24 = 1 4 = 0,25

Passo 4

c) Calcule a probabilidade de no máximo um dos três acertar o alvo;

Aqui vou chamar

F = n o   m á x i m o   u m   d o s   t r ê s   a t i r a d o r e s   a c e r t a r   o   a l v o

Aqui precisamos considerar a probabilidade de ninguém acertar o alvo, daí teríamos:

P F = P A C ∩ B C ∩ C C + P A C ∩ B C ∩ C + P A C ∩ B ∩ C C + P ( A ∩ B C ∩ C C )

E a ideia é exatamente a mesma da letra b.

Substituindo os valores:

P F = 1 + 1 + 3 + 2 24 = 7 24 ≈ 0,292

Passo 5

d) Calcule a probabilidade condicional de Alberto ter acertado dado que o alvo foi atingido por no máximo um dos três atiradores.

Ele tá pedindo basicamente:

P ( A | F )

Ou seja, a probabilidade de Alberto ter acertado, dado que o alvo foi atingido por no máximo um dos três atiradores.

Pela fórmula da condicional, temos que:

P A F = P ( A ∩ F ) P F = P ( A ∩ B C ∩ C C ) P ( F )

Substituindo os valores:

P A F = 2 24 7 24 = 2 7 ≈ 0,286

Resposta

a) 0,958

b) 0,25

c) 0,292

d) 0,286

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