Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

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Enunciado

O receptor de um determinado equipamento de uma rede de telecomunicações recebe mensagens de instruções através de três possíveis transmissores diferentes. Estatísticas da rede mostram que 50% das mensagens recebidas são enviadas pelo transmissor 1, 40% pelo transmissor 2 e 10% pelo transmissor 3. Para fins de garantia de integridade das informações, o protocolo de comunicação exige que o receptor confirme o recebimento repetindo ao seu transmissor a mensagem recebida.

Entretanto, a chance de os transmissores enviarem mensagens contendo erros nos bits que os identificam é de 1%, 3% e 6%, respectivamente. Com base nessas estatísticas, pede-se:

a) Fazer o diagrama de Venn.

b) Qual é a probabilidade de chegar uma mensagem no receptor com erro na identificação do remetente e, portanto, o receptor não ter certeza sobre qual transmissor ele deve responder?

c) Para cada um dos três transmissores, qual a probabilidade de este ter sido o remetente de uma mensagem que chegou no receptor com erro na identificação?

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão de prova!

Nesse problema vamos brincar um pouco com o diagrama de Venn. Temos que considerar as duas situações descritas no problema: a região dentro do retângulo corresponde a mensagem com erro na identificação (as fora são mensagens sem erro), enquanto os círculos representam os transmissores:

Como a probabilidade de a mensagem ser do transmissor 1 é 0,5 , se z é a probabilidade de a mensagem conter erro e ser do transmissor 1, temos que 0,5 - z é a probabilidade de a mensagem não conter erro e ser do transmissor 1. Seguindo a mesma lógica, construímos o resto do diagrama.

Passo 2

A probabilidade do transmissor 1 enviar uma mensagem com erro é 0,01 . Com isso, temos que

z 0,5 = 0,01 → z = 0,005 → 0,5 - z = 0,495

Deixa eu dar uma explicadinha um pouco melhor sobre essa última conta: quando consideramos o transmissor 1, nosso espaço amostral se reduz a 0,5 . Dentro desse espaço amostral, o erro é representado pela letra z . Daí a probabilidade z / 0,5 .

Fazendo os mesmo para os demais transmissores:

y 0,4 = 0,03 → y = 0,012 → 0,4 - y = 0,388

x 0,1 = 0,06 → x = 0,006 → 0,1 - x = 0,094

Com isso, podemos escrever o diagrama completo:

Passo 3

Vamos responder o item (b): a probabilidade de chegar uma mensagem com erro é a soma das probabilidades de erro em cada transmissor:

P e r r o = x + y + z = 0,006 + 0,012 + 0,005

Assim,

P e r r o = 0,023

No item (c), temos que calcular a probabilidade de a mensagem ter vindo de cada transmissor dado que ela veio com erro. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade condicional:

P A     B ) = P A   e   B P B

Nesse caso, o espaço amostral é P e r r o = 0,023 . Os numeradores das probabilidades serão x , y e z . Logo, temos que

P T 1   |   e r r o = 0,005 0,023 = 0,2174

P T 2   |   e r r o = 0,012 0,023 = 0,5217

P T 3   |   e r r o = 0,006 0,023 = 0,2609

Isso finaliza o problema 😉!

Resposta

P e r r o = 0,023

T 1   |   e r r o = 0,2174

P T 2   |   e r r o = 0,5217

P T 3   |   e r r o = 0,2609

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