Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

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Enunciado

Uma empresa de desenvolvimento urbano considera a possibilidade de construir um shopping center num setor do Rio de Janeiro. Um elemento vital é uma proposta em um setor com estrada que liga ao centro da cidade.

Se o Conselho aprovar essa rodovia, há probabilidade 0,80 da empresa construir o shopping, enquanto, se a rodovia não for aprovada a probabilidade é de apenas 0,12 .

Com base em informações disponíveis, o presidente da empresa estima que uma chance 0,60 que a estrada seja aprovada.

Pede-se:

a) Fazer o Diagrama de Venn (partição evento – evento bolota).

b) Qual é a probabilidade de a empresa construir o shopping?

c) Uma vez que o shopping foi construído, qual é a probabilidade de que a rodovia seja aprovada?

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão de prova!

Nesse problema vamos brincar um pouco com o diagrama de Venn. Temos que considerar dois eventos no problema: a aprovação da rodovia e a construção do shopping. Com isso, o diagrama de Venn será algo do tipo

Nessa representação, x é a probabilidade de apenas a estrada ser aprovada (sem a construção do shopping), z é a probabilidade de shopping ser construído sem a aprovação da estrada e y é a probabilidade de ambas as coisas acontecerem.

No texto, foi dito que a probabilidade de a estrada ser aprovada é 0,60 , de modo que

x + y = 0,60

A probabilidade de a empresa construir o shopping dado que o Conselho aprovou a rodovia é

y x + y = 0,80

Para entender essa última relação, é legal você ter uma ideia de probabilidade condicional. Quando ele fala que o Conselho aprovou a rodovia, nosso espaço amostral se reduz a x + y . Dentro desse espaço amostral, o shopping é construído apenas na situação descrita por y . Daí a fração que escrevemos acima!

Já se o conselho não aprovar a rodovia, o espaço amostral se reduz a

1 - x + y

Com isso, a probabilidade de o shopping ser construído dado que a rodovia não foi aprovada é

z 1 - x + y = 0,12

Agora temos todas as equações que precisamos para resolver o problema!

Passo 2

Como x + y = 0,60 , temos que

y 0,60 = 0,80 → y = 0,48 → x = 0,12

Da mesma forma,

z 1 - 0,60 = 0,12 → z = 0,048

Com isso, podemos completar o diagrama de Venn:

Observe que a probabilidade de nem a estrada ser aprovada e nem o shopping ser construído é

1 - 0,12 - 0,48 - 0,048 = 0,352

Passo 3

O item (a) já foi resolvido, bora pros demais itens! A probabilidade de a empresa construir o shopping é

P c o n s t r u i r   o   s h o p p i n g = y + z = 0,48 + 0,048

Portanto,

P c o n s t r u i r   o   s h o p p i n g = 0,528

Para terminar, no item (c) ele pergunta qual a probabilidade de a estrada ser aprovada dado que o shopping foi construído. Trata-se de uma probabilidade condicional:

P e s t r a d a     s h o p p i n g ) = y y + z

Logo,

P e s t r a d a     s h o p p i n g ) = 0,48 0,528

Portanto,

P e s t r a d a     s h o p p i n g ) = 0,9091

Com isso a gente finaliza o problema 😉!

Resposta

P c o n s t r u i r   o   s h o p p i n g = 0,528

P e s t r a d a     s h o p p i n g ) = 0,9091

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