Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

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Enunciado

11) Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com valores inteiros. Sabe-se que são possíveis apenas os pares ( x , y ) no conjunto A = x , y ∈ Z : x + y ≤ 1 ; além disso, todos os pares nesse conjunto são equiprováveis. Calcule E [ Y | X = 1 ] , o valor esperado de Y usando a distribuição de probabilidade condicional de Y dado {X=1}. A resposta correta é:

A) 2

B) 0,2

C) 0,6

D) 1

E) 0

Passo 1

Faaaala galerinha, tudo bom com vocês?

Nesse exercício temos uma situação bem interessante. Duas variáveis aleatórias, X e Y , que assumem apenas valores inteiros, pertencem ao conjunto A = x , y ∈ Z : x + y ≤ 1 . O que a questão pede é o valor esperado de Y dado que X = 1 ,   ou seja, E [ Y | X = 1 ] .

Beleza, mas e como é que a gente calcula essa esperança condicional?

Então, a ideia é bem semelhante com o que fazemos no caso mais comum. Quando não tem nada de probabilidade condicional, é só dizer que:

E Y = ∑ y ⋅ P ( Y )

Como, nessa questão, queremos o valor esperado da probabilidade condicional de Y , devemos fazer:

E Y X = 1 = ∑ y ⋅ P Y     X = 1 )

Massa! Nossa missão inicial vai ser descobrir quanto que valem essas probabilidades.

Passo 2

Eaí, tá todo mundo lembrado da fórmula da probabilidade condicional?

P Y X = 1 = P Y ,   X = 1 P X = 1

Bom, como os pares ( x , y ) pertencem ao conjunto A , vamos analisar os possíveis valores que ( x , y ) podem assumir.

Se Y = - 1 , então:

- 1 + | X | ≤ 1

∴ X = 0  

Logo, X = 0 . Daí, temos o nosso primeiro par:

x , y = ( 0 , - 1 )

Se Y = 0 , então:

0 + X ≤ 1

∴ X ≤ 1

Logo, X pode assumir três valores inteiros: { - 1 ,   0 ou 1 } . Daí, temos mais três pares possíveis:

x , y = { - 1,0 ,   0,0 ,   1,0 }

Beleza. Bora pro último caso!

Se Y = 1 , então:

X + 1 ≤ 1

X ≤ 0

Logo, X = 0 . Daí, temos o último par:

x , y = ( 0,1 )

Show galera, descobrimos o nosso espaço amostral, ou seja, todas as possibilidades possíveis para os pares ( x , y ) .

Porém, a probabilidade que estamos buscando é dado X = 1 . Assim, dentre todos os pares encontrados, quais aqueles que também obedecem a essa condição?

x , y = { 1,0 }

Então, tem apenas uma possibilidade. E qual a probabilidade dela ocorrer, dado que X = 1 ?

Pô, como tem apenas uma possibilidade essa probabilidade deve valer 1. Mas, dá pra verificar isso pela nossa fórmula também, olha:

P Y = 0 ,   X = 1 = P Y = 0 ,   X = 1 P X = 1 = 1 5 1 5 = 1

Muito bom!!

Passo 3

Agora, já finalizando, vamos usar a nossa expressão para o valor esperado de Y e calcular E [ Y | X = 1 ] .

E Y X = 1 = ∑ y ⋅ P Y X = 1

Como, dado X = 1 , há apenas um par ( x , y ) dentro do conjunto A, vamos ter que:

∑ y ⋅ P Y X = 1 = 0 ⋅ 1 = 0

Logo:

E Y X = 1 = 0

Prontinho galera! Espero que vocês tenham entendido bem.

Até a próxima 😊

Resposta

Letra E: 0

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