Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

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Enunciado

15) Deseja-se projetar um filtro de spam para uma conta de e-mail. Para isso, realizou-se um estudo probabilístico baseado na presença de determinadas palavras-chave (por exemplo, Viagra, você ganhou, etc.) nas mensagens recebidas. A partir desse estudo, conclui-se que a probabilidade das mensagens de spam conterem alguma dessas palavras-chave é 0,7 . Curiosamente, a probabilidade das mensagens que contém essas palavras serem spam também vale 0,7 .Constatou-se ainda que a probabilidade de mensagens que não são spam conterem essas palavras é 0,2 . A probabilidade de uma mensagem dessa conta de e-mail ser spam é de:

a) 1 .

b) 0,8 .

c) 0,4 .

d) 0,2 .

e) 0,7 .

Passo 1

Eaí gente, tudo certinho com vocês?

Nessa questão a gente tem uma situação bem interessante sobre as mensagens spam que chegam no e-mail. A ideia é tentar filtrar os spams com base em palavras-chave muito comuns em mensagens desse tipo.

Mas, pra nossa área aqui da probabilidade, são dadas várias informações e fica até um pouco confuso tentar separar todas elas mentalmente.

Uma dica nesse tipo de situação é montar um esquema, tipo uma árvore de probabilidade mesmo, pra conseguir visualizar melhor o que está acontecendo. Então, vamos fazer isso!

Passo 2

Bora começar identificando as informações.

I ) A probabilidade das mensagens de spam terem alguma palavra-chave é de 0,7 .

I I ) A probabilidade de uma mensagem que não é spam ter alguma palavra-chave é de 0,2 .

Beleza, com isso já podemos montar o primeiro esquema, tendo cuidado pra sempre que possível calcular a probabilidade do ramo complementar.

Onde P é justamente o que queremos descobrir: a probabilidade de uma mensagem ser spam.

Muito bom! E ainda tem uma informação que podemos analisar:

I I I ) A probabilidade de mensagens que contém alguma palavra-chave também ser spam é de 0,7 .

Aqui tem que ter cuidado. O que ele tá falando é que dado um e-mail que possui palavra-chave, então a probabilidade dele ser spam é de 0,7 .

Ótimo! Agora que esquematizamos as informações em árvores de probabilidade está mais tranquilo para interpretá-las.

Passo 3

Aqui o nosso objetivo é conseguir, a partir das árvores, escrever uma equação que nos ajude a determinar P .

A probabilidade da informação I I I é:

P I I I = 0,7 = P s p a m ∪ p a l a v r a   c h a v e P p a l a v r a   c h a v e

Mas, segundo a primeira árvore que desenhamos, temos que:

P s p a m ∪ p a l a v r a   c h a v e = P ⋅ 0,7

P p a l a v r a   c h a v e = 1 - P ⋅ 0,2 + P ⋅ 0,7

Top demais! Substituindo isso em P ( I I I ) , ficamos com:

0,7 = 0,7 P 1 - P ⋅ 0,2 + P ⋅ 0,7

⇒ 0,7 ⋅ 0,2 + 0,5 P = 0,7 P

∴ 0,14 = 0,7 P - 0,35 P = 0,35 P

⇒ P = 0,14 0,35 = 0,4

Aeeee, conseguimos determinar a probabilidade de uma mensagem que chega nesse e-mail ser spam. Muito bom, galera! Até a próxima, tamo junto!

Resposta

Letra C: 0,4 .

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