Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

UFRJ, ProbEst, P1/2013.1, 1

Para sagrar-se campeão de um torneio de tênis, um jogador precisa vencer quatro partidas sucessivas, todas elas eliminatórias. José é um dos participantes e suas probabilidades de vitória em cada partida (caso ele não tenha sido eliminado até então) foram estimadas em: 80% na 1ª partida, 70% na 2ª partida, 60% na 3ª partida (semifinal) e 50% na 4ª partida (final). Observe que estas probabilidades independem de quem seja o seu adversário em cada partida. Calcule as probabilidades de que José:

(b) Consiga chegar a uma semifinal, dado que não será o campeão.

Passo 1

Primeiramente vamos montar o espaço amostral desse torneio de tênis.

Quais os resultados possíveis ?

e 1 :   eliminação na primeira partida

e 2 :   eliminação na segunda partida

e 3 :  eliminação na semifinal

e 4 :  eliminação na final

v :  vencer o torneio

Então:

Ω → e 1 , e 2 , e 3 , e 4 , v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos determinar a probabilidade de cada resultado desse.

Probabilidade de ele perder de primeira é 1 menos a prob. de ele ganhar a primeira partida.

p e 1 = 1 - 0,80 = 0,2

Prob. de ele perder na segunda é igual a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. de ele perder a segunda.

p e 2 = 0,8 × 1 - 0,7 = 0,24

Prob. de ele perder na terceira é a prob. de ele ganhar a primeira vezes a prob. de ganhar a segunda vezes a prob. de perder a terceira.

p e 3 = 0,8 × 0,7 × 1 - 0,6 = 0,224

Prob. de ele perder na quarta segue o mesmo raciocínio.

p e 4 = 0,8 × 0,7 × 0,6 × 1 - 0,5 = 0,168

E a prob. de vencer o torneio é:

p v = 0,8 × 0,7 × 0,6 × 0,5 = 0,168

Passo 3

(b)

Chamando de:

S :  chegar a semifinal

C :  ser campeão

O exercício agora pede P S     C c ) . Probabilidade de chegar a semifinal, dado que não foi campeão.

Pela fórmula da probabilidade condicional:

P S C c = P S ∩ C c P ( C c )

Passo 4

A gente sabe que:

C → v

Único caso em que José é campeão.

P C = p v = 0,168

Com isso:

P C c = 1 - P C

P C c = 0,832

No mesmo raciocínio.

S ∩ C c → e 3 , e 4

Porque nesses dois casos José chega pelo menos a semifinal, mas não é campeão.

P S ∩ C c = p e 3 + p e 4

      = 0,392

Passo 5

Agora é substituir na fórmula.

P S C c = 0,392 0,832

P S C c ≈ 0,471

Resposta

b   0,471

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