Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

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Enunciado

Uma empresa de telefonia quer saber se vale a pena disponibilizar internet de banda larga para

seus clientes, e encomendou uma pesquisa de mercado, cujos resultados estão a seguir:

16% dos clientes usam a internet mais de 30 horas por semana.

22% dos clientes usam a internet entre 20 e 30 horas por semana.

29% dos clientes usam a internet entre 10 e 20 horas por semana.

33% dos clientes usam a internet menos de 10 horas por semana.

- Dentre os clientes que usam internet mais de 30 horas por semana, 93% estão interessados no

acesso rápido (banda larga).

- Dentre os clientes que usam internet entre 20 e 30 horas por semana, 72% estão interessados no acesso rápido (banda larga).

- Dentre os clientes que usam internet entre 10 e 20 horas por semana, 42% estão interessados no acesso rápido (banda larga).

- Dentre os clientes que usam internet menos de 10 horas por semana, 22% estão interessados no acesso rápido (banda larga).

Pede-se

a) Fazer o diagrama de Venn.

b) Um cliente é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de ele estar interessado na internet de banda larga?

c) Dado o interesse na internet de banda larga. Qual a probabilidade de ele pertencer a cada uma das classes de usuário (mais de 30 horas, 20 a 30 horas, etc.)?

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão de prova!

Nesse problema vamos brincar um pouco com o diagrama de Venn. Temos que considerar as duas situações descritas no problema: a pessoa pode ter interesse ou não na banda larga (dividindo em dentro e fora do retângulo) e o tempo que pessoa usa internet na semana (representado pelos círculos):

Como a probabilidade de a pessoa usar a internet por mais de 30 horas é 0,16 , coloquei x para a probabilidade de a pessoa usar por mais de 30 horas e ter interesse em banda larga. Desta forma, a probabilidade de a pessoa usar por mais de 30 horas e não ter interesse é 0,16 - x . Seguindo o mesmo raciocínio para os demais círculos nós montamos o diagrama acima!

Passo 2

Dentre os clientes que usam a internet por mais de 30 horas, 93% estão interessados em banda larga, de modo que

x = 93 %   d e   0,16 → x = 0,93 ⋅ 0,16 → x = 0,1488

Portanto,

0,16 - x = 0,0112

Seguindo a mesma lógica, entre os que usam de 20 a 30 horas temos que

w = 0,72 ⋅ 0,22 → w = 0,1584 → 0,22 - w = 0,0616

Já na faixa entre 10 e 20 horas:

z = 0,42 ⋅ 0,29 → z = 0,1218 → 0,29 - z = 0,1682

Por fim, na faixa abaixo de 10 horas:

y = 0,22 ⋅ 0,33 → y = 0,0726 → 0,33 - y = 0,2574

Com isso, podemos construir o diagrama completo:

Passo 3

Vamos responder o item (b): a probabilidade de cliente escolhido ter interesse em banda larga é

P b a n d a   l a r g a = x + y + z + w = 0,1488 + 0,0726 + 0,1218 + 0,1584

Assim,

P b a n d a   l a r g a = 0,5016

No item (c), temos que calcular a probabilidade de o cliente pertencer a cada grupo dado que ele tem interesse em banda largas. Para isso, usamos a fórmula da probabilidade condicional:

P A     B ) = P A   e   B P B

Nesse caso, o espaço amostral é P b a n d a   l a r g a = 0,5016 . Logo, temos que

P m e n o s   d e   10   h o r a s     b a n d a   l a r g a ) = 0,0726 0,5016 = 0,1447

P e n t r e   10   e   20   h o r a s     b a n d a   l a r g a ) = 0,1218 0,5016 = 0,2428

P e n t r e   20   e   3 0   h o r a s     b a n d a   l a r g a ) = 0 , 1584 0,5016 = 0 , 3158

P m a i s   d e   30   h o r a s     b a n d a   l a r g a ) = 0,1488 0,5016 = 0,2966

Isso finaliza o problema 😉!

Resposta

P b a n d a   l a r g a = 0,5016

P m e n o s   d e   10   h o r a s     b a n d a   l a r g a ) = 0,1447

P e n t r e   10   e   20   h o r a s     b a n d a   l a r g a ) = 0,2428

P e n t r e   20   e   30   h o r a s     b a n d a   l a r g a ) = 0,3158

P m a i s   d e   30   h o r a s     b a n d a   l a r g a ) = 0,2966

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