Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006,115-18

Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é três vezes mais provável de sair do que o ponto 2). Calcular:

a) a probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar;

b) a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.

Passo 1

Primeira coisa: Interpretar o enunciado e escrever as informações retiradas dele

Estamos falando de um dado, portanto Ω = { 1,2 , 3,4 , 5,6 }

O enunciado diz: a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor

Então imagine que a probabilidade de sair 1 é n:

P 1 = n

A probabilidade de sair 2 é duas vezes maior:

s e   P 1 = n     e n t ã o     P 2 = 2 n

Podemos calcular todas as probabilidades em função de n :

P 1 = n → P 3 = 3 n

P 1 = n → P 4 = 4 n

P 1 = n → P 5 = 5 n

P 1 = n → P 6 = 6 n

Mas qual o valor de n?

Sabendo que a soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1, faremos:

P 1 + P 2 + P 3 + P 4 + P 5 + P 6 = 1

n + 2 n + 3 n + 4 n + 5 n + 6 n = 21 n = 1

n = 1 21

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a) a probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar;

Seja

- “5”: Evento de sair o número 5

- A : Evento sair ímpar

Queremos: P ( 5 | A )

Estamos falando de probabilidade condicional certo? Então vamos para a fórmula!

P C = P B ∩ C P C

Substituindo teremos

P A = P 5 ∩ A P ( A )

Então precisamos calcular essas duas probabilidade né? Vamos lá!

- P 5 ∩ A : Probabilidade de ser 5 e ímpar

Bom, sempre que temos o número 5 ele é ímpar né? Então falaremos que:

P 5 ∩ A = P 5 = 5 n = 5 21

- P A : Probabilidade de ser ímpar

Temos que

A = 1,3 , 5

P A = P 1 + P 3 + P 5 = n + 3 n + 5 n = 9 n = 9 21

Assim

P A = P 5 ∩ A P ( A ) = 5 21 9 21 = 5 9 = 0,56

Passo 3

- b) ) a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.

Novamente probabilidade condicional certo? Agora com os eventos:

- B: Evento retirar um número par

- D: Evento retirar números maiores que 3.

Queremos P B , que será:

P B = P B ∩ D P D

Agora é só calcular essas probabilidades né?

- P B ∩ D :   Probabilidade de retirar um número par MAIOR do que 3.

Se fosse maior que três temos 3 possibilidades(4,5,6) porém como ele quer um número maior que 3 e par temos que:

B ∩ D = 4,6

P B ∩ D = P 4 + P 6 = 4 n + 6 n = 10 n = 10 21

- P(D): Probabilidade de retirar um número maior do que 3

D = 4,5 , 6

P D = P 4 + P 5 + P 6 = 4 n + 5 n + 6 n = 15 n = 15 21

Entãão teremos:

P B = 10 21 15 21 = 10 15 = 2 3 = 0,67

Resposta

a) 0,56

b)0,67

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