Exercícios Resolvidos de Probabilidade Condicional

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Enunciado

Uma usina hidrelétrica possui 2 geradores, e a probabilidade de cada uma delas parar de funcionar é P(F1) = 1/10 e P(F2) = 1/5, respectivamente. A usina fornece energia a uma cidade onde a probabilidade de que a temperatura medida num momento qualquer seja acima de 30◦C é P(Q) = 1/5 (nesses dias, espera-se uma demanda consideravelmente elevada de energia). A administração da usina considera três situações distintas em que esta opera: Satisfatória (S): os dois geradores estão funcionando, e a temperatura está abaixo de 30◦C; Crítica (C): pelo menos um dos dois geradores não está funcionando, e a temperatura está acima de 30◦C; Marginal (M): todos os outros casos. De acordo com as informações acima, e considerando que os eventos F1, F2 e Q são independentes, assinale a alternativa incorreta:

a) P S   =   576 1000 d) P F 1   ∪   F 2   = 280 1000

b) P C   =   56 1000 d) P F 1   ∩   F 2     Q =   20 1000

c) P M   =   632 1000

Passo 1

Fala pessoal. Esse enunciado te muita informação, entãovamos com calma. Primeiro vamos anotar as informações que foram passadas

P F 1   =   1 10 , P F 2   =   1 5 , P Q   =   1 5

Que são, respectivamente, a probabilidade do gerador 1 falhar, a probabilidade do gerador 2 falhar, e a probabilidade da temperatura ser superior a 30°C.

Temos que F 1 ,   F 2 ,   Q são eventos independentes.

Passo 2

Prcisamos calcular as probabilidades dos eventos S   e   C .

P S   =   1 - 1 10 1 - 1 5 1 - 1 5   =   72 125   =   576 1000

P C   =   (Prob de apenas F 1 estar quebrado + Prob de apenas F 2 estar quebrado + a prob de F 1   e   F 2 estarem quebrados)*( P Q )

⇒   P C   =   1 5 ⋅ 9 10   +   4 5 ⋅ 1 10 + 1 10 ⋅ 1 5 ⋅ 1 5 = 14 250   =   56 1000

Passo 3

Vamos calcular P M . Note que M   são todos os demais casos excluindo S   e   C .

Então, P M = 1 -   P S   +   P C . Já que Ω   =   S   ∪   C   ∪   M  

⇒   P M   =   1   -   632 1000

Com isso já temos a resposta. Mas vamos verificar as demais alternativas.

Passo 4

Agora vamos calcular P F 1   ∩   F 2     Q e P F 1   ∪   F 2  

Por independência entre F 1 ,   F 2     e   F 3 temos P F 1   ∩   F 2     Q   =   P F 1   ∩   F 2    

P F 1   ∩ F 2     =   1 10 ⋅ 1 5   =   20 100

P F 1   ∪   F 2   = P F 1   +   P F 2   +   P F 1   ∩   F 2   = 280 1000

Resposta

Letra c)

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