Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

Considere variáveis aleatórias X   e   Y com densidade conjunta constante na região 0 ≤ x ≤   y ≤ 1 e igual a zero no complemento dessa região. A densidade marginal de y   para y   ∈ 0,1 é:

Passo 1

Fala pessoal!! Tudo certinho com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Dessa vez envolvendo densidade marginal.

Para esse problema, nós sabe-se que f X , Y x , y   =   c , para 0 ≤ x ≤   y ≤ 1 , e 0   c.c . com c   uma constante real.

Queremos calcular a marginal de y   , isto é: f Y y

Passo 2

Como queremos f Y y , primeiro vamos lembrar a definição da densidade marginal. Vocês se recordam?

Temos que f Y y é definida como:

f Y y   =   ∫ x ∈ D     f x , y d x . Onde D   é o conjunto de todos os possíveis valores de x  

Passo 3

Agora que relembramos a definição da densidade marginal, vamos verificar quem é o domínio D     de x   .

0 ≤ x ≤   y ≤ 1 ⇒   0 ≤ x ≤   y ⇒   - y ≤ x ≤   y  

Agora que conhecemos nosso domínio D   , podemos calcular f Y y   =   ∫ x ∈ D     f x , y d x

Passo 4

Vamos calcular f Y y

f Y y =   ∫ x ∈ D     f x , y d x

(usando nosso domínio D   encontrado no passo anterior )

=   ∫ - y y 1 *   c d x

=   x c ​ x = - y x = y

=   2 y c  

Passo 5

Descobrimos que f Y y =   2 y c . Só nos resta encontrar quem é a constante c . Como a densidade marginal é uma densidade. O valor da sua integral no domínio de y   tem que ser igual a 1   . Ou seja: ∫ y   f Y y d y   =   1

⇒ ∫ 0 1   2 y c d y   =   1

(porque y   vai de zero a um? Na marginal y   não depende de x   e sabemos que 0 ≤ x ≤   y ≤ 1 , logo 0 ≤   y ≤ 1   )

⇒ 2 y 2 2 c ​ y = 0 y = 1   =   1

⇒ c   =   1  

Dessa forma, f Y y =   2 y para 0 ≤ y ≤ 1  

Resposta

2 y  

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