Exercícios Resolvidos de Probabilidade Conjunta de V.A. Bidimensionais Contínuas

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Enunciado

02) Dois números, X e Y , são gerados aleatoriamente e uniformemente distribuídos no intervalo [ 0,1 ] . Assuma que são gerados de maneira independente e calcule a probabilidade da equação X z 2 + z + Y = 0 possuir raízes reais.

a) 1 4 - l n 4

b) 1 4 .

c) 1 4 + 1 4 l n 4 .

d) 1 2 .

e) - l n l n   1 4   .

Passo 1

Faaala pessoal, como vocês estão?

Essa questão é bem complicadinha, mas vem comigo que vamos deixar ela tranquila tranquila haha!

Basicamente, temos duas variáveis aleatórias X e Y , que seguem uma distribuição uniforme no intervalo [ 0,1 ] e que são coeficientes da seguinte equação do 2 ° grau:

X z 2 + z + Y = 0

O exercício quer saber a probabilidade dessa equação ter raízes reais.

Bom, pela fórmula de Bhaskara (lá da escolinha...), sabemos que a solução dessa equação do 2 ° grau é dada por:

z = - 1 ± - 1 2 - 4 ⋅ X ⋅ Y 2 X

z =   - 1 ± 1 - 4 ⋅ X ⋅ Y 2 X

Para essa equação possuir raízes reais, devemos ter Δ ≥ 0 , ou seja:

1 - 4 X Y ≥ 0

Ou seja:

X Y ≤ 1 4

Portanto, o que realmente estamos querendo saber é a probabilidade de termos X Y ≤ 1 4 .

Passo 2

Beleza, já conseguimos traduzir esse problema pra linguagem de probabilidade, mas como é que calculamos P X Y ≤ 1 4 ?

Essa pergunta é bem difícil, mas o bizu é lembrar que em distribuição uniforme podemos calcular probabilidade usando a ideia de razão de áreas ocupadas pelos pontos.

Tipo assim, como X e Y estão em [ 0,1 ] , pensando no plano cartesiano, os possíveis pares ( X , Y ) formam um quadrado. Esse é o nosso espaço amostral!

Beleza! Mas também temos a restrição pela equação:

X Y ≤ 1 4

Os pares de pontos que obedecem a essa equação, serão os pontos abaixo da curva:

y = 1 4 x - 1

Que é uma hipérbole, com x variando de 0 a 1 ! Vamos plotar ela no gráfico também:

Muito bom! Agora chegamos que temos tanto os pontos favoráveis como o espaço amostral, pela definição de probabilidade, podemos dizer que: X Y ≤ 1 /   4

P X Y ≤ 1 4 = A H i p é r b o l e A q u a d r a d o

Onde:

A H i p é r b o l e é a área abaixo da curva da hipérbole e dentro do quadrado de 1 .

A q u a d r a d o é a área do quadrado que representa o espaço amostral dos pares ( X , Y ) .

Passo 3

Massa! Bora calcular essas áreas então!

A área do quadrado é bem simples, né?!

A q u a d r a d o = 1   u . a

Já a A h i p é r b o l e dá um trabalhinho a mais! Vamos dividi-la em duas partes:

Daí:

A H i p é r b o l e = A 1 + A 2

A área 1 é simplesmente a área do retângulo formado na região ( 1 ) .

Lembrando que o ponto de interseção da hipérbole com a reta y = 1 , pode ser encontrado fazendo:

1 = 1 4 x - 1

x = 1 4

Portanto, temos:

A 1 = 1 ⋅ 1 4  

A 1 = 1 4   u . a

Já a área da região ( 2 ) precisa ser calculada com o auxílio da integral. Na prática, essa região é composta pelos pontos abaixo da curva y = 1 4 x - 1 entre os pontos 1 4 ≤ x ≤ 1 .

Assim, temos:

A 2 =   ∫ 1 4 1 1 4 x - 1 d x

A 2 = 1 4 l n l n   x   1 4 1  

A 2 = 1 4 l n l n   1   - l n l n   1 4  

A 2 =   - 1 4 ⋅ l n l n   4 - 1  

⇒ A 2 = 1 4 ⋅ l n l n   4  

Excelente! Logo:

A H i p é r b o l e = A 1 + A 2

A H i p é r b o l e = 1 4 + 1 4 l n 4     u . a

Agora é só correr pro abraço, pois:

P X Y ≤ 1 4 = A H i p é r b o l e A q u a d r a d o

P X Y ≤ 1 4 = 1 4 + 1 4 l n l n   4  

Prontinho galera! Mais uma questão finalizada.

Bem legal essa ideia da probabilidade como área né?!

Valeu pessoal, até a próxima 😊

Resposta

Letra C: 1 4 + 1 4 l n ⁡ ( 4 )

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