Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

UNICAMP - Cálculo 1 - P2 2015 Vespertino Quinta - 2 a

Calcule:

  lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x

Passo 1

Está sabendo, né? Antes de tudo temos que mostrar a indeterminação no limite e lembre-se: nunca use o sinal de igualdade, apenas setas ou aspas:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x ⟹ l i m x → + ∞ ln ⁡ x l i m x → + ∞ x ⟹ ∞ ∞

Podemos aplicar L’Hôpital sem temer a infelicidade.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Aplicando L’Hospital, vamos derivar em cima e embaixo no quociente:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = lim x → + ∞ ⁡ [ ln ⁡ x ] ' [ x ] '

Sendo:

ln ⁡ x ' = 1 x

x ' = 1 2 x

Substituindo tudo

… = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 1 2 x

Vamos inverter essas frações e manipular esse cara

… = lim x → + ∞ ⁡ 1 x 1 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 1 x . 2 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 1 2 x 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 1 2 - 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x - 1 2

… = lim x → + ∞ ⁡ 2 x = " 2 ∞ " = 0

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ x x = 0

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