5) Calcule cada um dos limites abaixo.

j) lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ ( x ) , com r > 0

Passo 1

Fala aí, galerinha!! Nesse exercício nos deparamos com um limite um pouco estranho

lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ ( x )

Com esse r sempre maior que zero. A primeira coisa que a gente faz é testar o que acontece quando substituímos aquele x = 0 na nossa função:

lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ ( x ) = 0 r ln ⁡ 0

Como o r > 0 isso nos dá uma indeterminação do tipo 0 . ∞

EPA! Nos deparamos com uma indeterminação... mas calma lá, essa indeterminação é bem manjada. Geralmente a gente usa a regra de L’Hospital e essa é a nossa tentativa aqui. A primeira coisa que a gente tem que fazer é manipular essa expressão para obter uma outra forma dela em que a gente pode aplicar a regra, ok? Então partiu fazer isso!!

Passo 2

Nesse tipo de indeterminação a gente manipula um dos termos para transformar a nossa expressão original em uma que a gente pode aplicar a regra. Nesse caso, vamos escrever

x r = 1 x - r

Ou ainda melhor

x r = 1 x - r = 1 1 / x r

Devolvendo isso na nossa expressão, agente fica com

lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ ( x ) =   lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 / x r

Olha o que acontece quando a gente joga o limite agora

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 / x r = ln ⁡ 0 1 0 = - ∞ ∞

Que é uma indeterminação em que a gente pode aplicar a regra de L’Hospital!!

Passo 3

O limite que a gente deve resolver agora é

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x 1 / x r =   lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x - r

A regra de L’Hospital nos faz escrever:

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x - r = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ' x - r '

Calculando as derivadas temos

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x ' x - r ' = l i m x → 0 + 1 x ( - r x - r - 1 )

Que coisa feia, não? Vamos arrumar um pouco essa expressão passando aquele x - r - 1 para a parte de cima:

l i m x → 0 + 1 x ( - r x - r - 1 ) =   l i m x → 0 + - x - 1 x r + 1 r = l i m x → 0 + - x r r  

Passo 4

Agora podemos aplicar o limite na expressão que a gente obteve

l i m x → 0 + - x r r =   - 0 r r  

Como o r > 0 temos

l i m x → 0 + - x r r = 0

E aí resolvemos esse limite 😊 Vamos para o próximo??

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x r ln ⁡ ( x ) = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2