Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

PUC-RJ - Cálculo 1 - P2 2015.1 - 1 c

Calcule:

lim x → ∞ ⁡ x e x ln ⁡ x + 1

Passo 1

Vamos verificar se a senhora indeterminação está lá:

lim x → ∞ ⁡ x e x ln ⁡ x + 1 ⟹ l i m x → ∞ x e x lim x → ∞ ln ⁡ x + 1 ⟹ ∞ ⋅ ∞ ln ⁡ ∞ ⟹ ∞ ∞

Então podemos aplicar o titio L’Hôpital.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

lim x → ∞ ⁡ x e x ln ⁡ x + 1 = lim x → ∞ ⁡ [ x e x ] ' [ ln ⁡ x + 1 ] '

Para derivar o numerador, usamos a regra do produto:

x e x ' = x ' e x + x e x ' = e x + x e x = e x ( 1 + x )

Para o denominador, usamos a regra da cadeia:

[ ln ⁡ x + 1 ] ' = 1 x + 1 ⋅ x + 1 ' = 1 x + 1

Substituindo tudo:

… = lim x → ∞ ⁡ x e x ' [ ln ⁡ x + 1 ] ' = lim x → ∞ ⁡ e x 1 + x 1 x + 1

Invertendo

… = l i m x → ∞ e x 1 + x ⋅ x + 1 = l i m x → ∞ e x 1 + x 2 = " ∞ ⋅ ∞ " = ∞

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x e x ln ⁡ x + 1 = ∞

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