Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

Elaboração própria

Calcule o limite abaixo. Justifique suas respostas.

lim x → 0 ⁡ e x - e 2 x + x x - sen ⁡ ( x )

Passo 1

Primeiramente, substituímos o valor de x para avaliar se há ou não indeterminação.

l i m x → 0 e x - e 2 x + x x - sen ⁡ ( x ) ⟹ l i m x → 0 e x - e 2 x + x l i m x → 0 x - sen ⁡ x ⟹ 1 - 1 + 0 0 - 0 ⟹ 0 0

Dado que temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 , podemos partir para utilizar L’Hôpital.

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Passo 2

Aplicando a regra de L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ e x - e 2 x + x x - sen ⁡ ( x ) = lim x → 0 ⁡ [ e x - e 2 x + x ] ' [ x - sen ⁡ ( x ) ] '

Usando a regra da cadeia:

e x - e 2 x + x ' = e x - 2 e 2 x + 1

Para o denominador:

x - sen ⁡ x ' = 1 - cos ⁡ x

Então o nosso limite vai dar:

lim x → 0 ⁡ e x - e 2 x + x ' x - sen ⁡ x ' = l i m x → 0 e x - 2 e 2 x + 1 1 - cos ⁡ x ⟹ 1 - 2 + 1 1 - 1 ⟹ 0 0

Temos a presença da indeterminação novamente, então temos que aplicar L’Hôpital de novo.

Passo 3

Vamos ter então que:

l i m x → 0 e x - 2 e 2 x + 1 1 - cos ⁡ x = l i m x → 0 e x - 2 e 2 x + 1 ' 1 - cos ⁡ x '

Derivando o numerador:

e x - 2 e 2 x + 1 ' = e x - 4 e 2 x

E o denominador:

1 - cos ⁡ x ' = sen ⁡ x

Então vamos ter:

l i m x → 0 e x - 2 e 2 x + 1 ' 1 - cos ⁡ x ' = l i m x → 0 e x - 4 e 2 x sen ⁡ x

= 1 - 4 lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x = - 3 lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x

Passo 4

O detalhe é que

lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ x = 0 -

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x = 0 +

Então os limites laterais não batem, por causa do seno temos que:

- 3 lim x → 0 - ⁡ sen ⁡ x = + ∞

- 3 lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x = - ∞

Então o limite lá do enunciado não existe.

Resposta

O limite não existe.

lim x → 0 - ⁡ e x - e 2 x + x x - sen ⁡ ( x ) = + ∞

lim x → 0 + ⁡ e x - e 2 x + x x - sen ⁡ ( x ) = - ∞

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