Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Indeterminação ∞/∞ e 0/0

Calcule o seguinte limite :

lim x 0 e x - sen x - cos 2 x sen 2 x

Passo 1

Antes de mais nada, vamos substituir x = 0 no limite e ver no que dá:

e 0 - sen 0 - cos 0 sen 2 0 = 1 - 0 - 1 0 = 0 0

Caímos numa indeterminação 0 / 0 , então temos que dar um jeito nisso aí.

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Passo 2

Com uma indeterminação dessas, o primeiro reflexo é tentar aplicar l’Hôpital, né? Então vamos tentar:

lim x 0 e x - sen x - cos 2 x sen 2 x = lim x 0 e x - cos x + 2 sen 2 x 2 sen x cos x = 0 0

Caímos de novo numa indeterminação 0 / 0 , então vamos de l’Hôpital de novo!

Passo 3

Mas repara que no denominador apareceu o produto de um seno e um cosseno, então na hora de derivar vamos ter que usar a regra do produto e só vai complicar o limite.

Aqui a sacada é a seguinte:

2 sen x cos x = sen 2 x

Essa é uma identidade trigonométrica bastante importante!

Assim o nosso limite vai ser:

lim x 0 e x - cos x + 2 sen 2 x sen 2 x

Passo 4

Agora sim vamos aplicar a regra de l’Hôpital, aí vai ficar:

lim x 0 e x + sen x + 4 cos 2 x 2 cos 2 x = 1 + 0 + 4 2 = 5 2

Pronto, aí está o valor do limite! :)

Resposta

5 2

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