1a) Calcule os seguintes limites, identificando o tipo de indeterminação, caso exista

lim x → 0 ⁡ arcsin ⁡ 3 x sin ⁡ 2 x

Passo 1

Partiu então. Galera, sempre que a gente pegar um limite a primeira coisa a se fazer é substituir e ver o que acontece. Nesse caso, saca só como fica:

lim x → 0 ⁡ arcsin ⁡ 3 x sin ⁡ 2 x = arcsin ⁡ 0 sin ⁡ 0 = 0 0

Opa, uma indeterminação! Temos então que resolver isso aí primeiro pra só depois resolver o limite!

Passo 2

Pra nossa sorte, essa indeterminação é uma das cláaassicas de L’Hospital. Então se realizarmos LH derivando em cima e em baixo, a indeterminação pode sumir! Partiu então:

lim x → 0 ⁡ arcsin ⁡ 3 x sin ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ arcsin ⁡ 3 x ' sin ⁡ 2 x ' = lim x → 0 ⁡ 1 1 - 3 x 2 3 x ' cos ⁡ 2 x 2 x '

= lim x → 0 ⁡ 3 1 - 9 x 2 2 cos ⁡ 2 x

Rearranjando esse carinha ficamos com:

= 3 2 ∙ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 2 x ∙ 1 - 9 x 2

Agora vamos tentar substituir pra ver o que acontece de novo, beleza?

= 3 2 ∙ lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ 2 x ∙ 1 - 9 x 2 = 3 2 ∙ 1 cos ⁡ 0 ∙ 1 - 0 = 3 2 ∙ 1 1 ∙ 1 = 3 2

Show, indeterminação sumiu e fechamos a questão! Vamos ter:

lim x → 0 ⁡ arcsin ⁡ 3 x sin ⁡ 2 x = 3 2

Resposta

I n d e t e r m i n a ç ã o   d o   t i p o   0 0

lim x → 0 ⁡ arcsin ⁡ 3 x sin ⁡ 2 x = 3 2

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2