Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista.

b l i m x → 0   x - t g   x   x - s e n   x    

Passo 1

Bom, se a gente joga x → 0 achamos 0 / 0 , indeterminação clara. Certo, o que fazer agora? Vamos derivar em cima e embaixo, o famoso L’Hospital.

l i m x → 0   x - t g   x   x - s e n   x     ⇒ l i m x → 0   ( x ) ' - ( t g   x ) ' ( x ) ' - s e n   x   '   = l i m x → 0   1 - s e c 2 x   1 -   c o s   x    

Bom era para estar tudo bem agora, né?

l i m x → 0   1 - s e c 2 x   1 - c o s   x     = 1 - s e c 2 ( 0 )   1 - c o s   0   = 1 - 1 1 - 1 = 0 0

Ué, indeterminação de novo? Pois é, de novo. O que fazer então? Ora, usamos o mesmo cara, L’Hospital, pela segunda vez!

l i m x → 0   1 - s e c 2 x   1 - c o s   x     ⇒ l i m x → 0   1 ' - s e c 2 x   ' 1 ' - c o s   x   '   = l i m x → 0   - 2   s e c   x     s e c   x   ' s e n   x    

= l i m x → 0   - 2   s e c   x   ( s e c   x   t g   x   ) s e n   x    

Agora, vamos pensar nisso aqui: tangente é seno sobre cosseno, né? Será que dá para cortar coisa ali? Aquele seno debaixo!

= l i m x → 0   - 2 sec 2 ⁡ x     ( t g   x   ) s e n   x     = l i m x → 0   - 2 sec 2 ⁡ x     s e n   x   s e n   x   c o s   x     = l i m x → 0   - 2 sec 2 ⁡ x   c o s   x    

Daqui é só substituir!

l i m x → 0   - 2 sec 2 ⁡ x   c o s   x     = - 2 sec 2 ⁡ ( 0 )   c o s   0   = - 2 1 2 1 = - 2

Resposta

l i m x → 0   x - t g   x   x - s e n   x     = - 2

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2