a) Calcule

lim x → + ∞ ⁡ e x + x 1 x

Passo 1

Eita, olha que função feia pra se calcular o limite! Mas relaxa que não é lá esse bicho de sete cabeças. Saca só essa dica que dá pra usar quando tempos uma função de x elevada a outra função de x :

f x = e ln ⁡ f x

Se:

f x = e x + x 1 x

Então vamos ficar com:

e x + x 1 x = e ln ⁡ e x + x 1 x = e ln ⁡ e x + x x

E se essas funções são iguais, então seus limites também vão ser:

lim x → + ∞ ⁡ e x + x 1 x = lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ e x + x x = e lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x

Show de bola, o limite que vamos ter meeesmo que calcular vai ser esse aqui:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x

Passo 2

A primeira coisa que a gente tenta sempre quando vemos um limite é substituir. Bora ver então no que que dá esse limite:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x = ln ⁡ e ∞ + ∞ ∞ = ∞ ∞

Opa, ∞ ∞ tem cheiro de resolução por L’Hospital não é mesmo? Então derivando em cima e em baixo vamos ter:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x ' x ' =

= lim x → + ∞ ⁡ 1 e x + x e x + x ' 1 = lim x → + ∞ ⁡ e x + 1 e x + x

Vamos ver agora se rola substituir:

lim x → + ∞ ⁡ e x + 1 e x + x = e ∞ + 1 e ∞ + ∞ = ∞ ∞

Ainda não, mas veja bem! ∞ ∞ de novo! Então partiu fazer L’Hospital de novo:

lim x → + ∞ ⁡ e x + 1 e x + x = lim x → + ∞ ⁡ e x + 1 ' e x + x '

= lim x → + ∞ ⁡ e x e x + 1 = e ∞ e ∞ + 1 = ∞ ∞

∞ ∞ três vezes? É, pois é! Mas relaxa que é só fazer L’Hospital pela última vez:

lim x → + ∞ ⁡ e x e x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ e x ' e x + 1 ' = lim x → + ∞ ⁡ e x e x = lim x → + ∞ ⁡ 1 = 1

Finalmente, achamos o limite!

Passo 3

Agora é só juntar o que achamos, se:

lim x → + ∞ ⁡ e x + x 1 x = e lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ e x + x x = 1

Então:

lim x → + ∞ ⁡ e x + x 1 x = e 1 = e

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ e x + x 1 x = e

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2