Calcule:

lim x → 0 ⁡ 1 x ln ⁡ sen ⁡ x x

Passo 1

Conforme vimos na teoria, a primeira coisa é substituir o valor de x

lim x → 0 ⁡ 1 x ln ⁡ sen ⁡ x x = 1 0 ln ⁡ sen ⁡ 0 0 = 1 0 ln ⁡ 0 0

Opa! Antes de qualquer coisa, temos uma indeterminação dentro do logaritmo! Temos que resolver aquela indeterminação primeiro! Portanto vamos começar olhando aquele limite. Podemos separá-los usando a propriedade do produto:

lim x → 0 ⁡ 1 x ln ⁡ sen ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ 1 x × lim x → 0 ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x x

Passo 2

Avaliando o segundo limite, que já nos fornece uma indeterminação:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x x

Como a função logaritmo é contínua (é importante ressaltar isso na sua resolução, o professor vai curtir demais), podemos utilizar a última propriedade da nossa lista para entrar com o limite nela:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x x = ln ⁡ lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x

Agora a parada se resume a resolver esse outro limite um pouco mais simples. Se você souber L’Hospital, é coisa rápida. Dá pra resolver de dois jeitos, mas sem derivadas é muito mais trabalhoso.

Passo 3

Como a indeterminação é do tipo 0 0 , podemos derivar em cima e em baixo:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1

Como o cosseno é uma função contínua:

lim x → 0 ⁡ c o s ⁡ ( x ) = c o s ⁡ ( 0 )

cos ⁡ 0 = 1

Ou seja, substituindo de volta:

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Passo 4

Como achamos o limite, podemos substituir no limite original para finalmente avaliar o tipo de indeterminação do limite que o enunciado pediu:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x x = l n ⁡ ( 1 )

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x x = 0

Substituindo no limite original:

lim x → 0 ⁡ 1 x ln ⁡ sen ⁡ x x ⟹ 1 0 × 0

Ou seja, chegamos numa indeterminação do tipo 0 0 , portanto podemos utilizar L’Hospital novamente.

Passo 5

Derivando em cima e em baixo:

lim x → 0 ⁡ 1 x ln ⁡ sen ⁡ x x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ sen ⁡ x x ' x ' =

= lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x sen ⁡ x x ' = lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ x x cos ⁡ x - sen ⁡ x x 2 =

= lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ x x sen ⁡ x

Passo 6

Mais uma vez, vamos avaliar o limite substituindo o valor de x :

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ x x sen ⁡ x ⟹ 1 × 0 - 0 0 × 0 ⟹ 0 0

Mais uma vez chegamos numa indeterminação do tipo 0 0 , portanto, L’Hospital nela:

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x - sen ⁡ x ' x sen ⁡ x ' = lim x → 0 ⁡ - x sen ⁡ x + cos ⁡ x - c o s ⁡ ( x ) x cos ⁡ x + sen ⁡ x

lim x → 0 ⁡ - x sen ⁡ x x cos ⁡ x + sen ⁡ x ⟹ 0 0

Deu 0 0 , novamente, apliquemos L’Hospital novamente:

lim x → 0 ⁡ - x cos ⁡ x + sen ⁡ x - x sen ⁡ x + cos ⁡ x + c o s ⁡ ( x )

Substituindo para avaliar esse limite:

lim x → 0 ⁡ - x cos ⁡ x + sen ⁡ x - x sen ⁡ x + 2 cos ⁡ x ⟹ - 1 × 0 + 0 0 + 2 = 0

Portanto, finalmente:

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 x ln ⁡ sen ⁡ x x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2