b) Calcule

lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x e 2 x - 2 x - 1

Passo 1

Bora começar. Primeiríssima coisa de um cálculo de limite é sempre substituir e ver no que dá. Então partiu:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x e 2 x - 2 x - 1 = 1 - cos 2 ⁡ 0 e 2.0 - 2 . 0 - 1 = 1 - 1 1 - 1 = 0 0

É, não deu certo. Mas pelo menos, como deu 0 0 , a gente consegue tirar por L’Hospital! E é bem isso que faremos!

Passo 2

Já que limites dando ∞ ∞ ou 0 0 deixam a gente usar L’Hospital, vamos derivar em cima e em baixo, beleza? Saca só:

lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x e 2 x - 2 x - 1 = lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x ' e 2 x - 2 x - 1 ' =

= lim x → 0 ⁡ - 2 cos ⁡ x cos ⁡ x ' 2 x ' e 2 x - 2 = lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x sin ⁡ x 2 e 2 x - 2

Vamos ver agora se rola substituir:

lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x sin ⁡ x 2 e 2 x - 2 = 2.1 . 0 2 - 2 = 0 0

Ainda não, mas veja bem! 0 0 de novo! Então partiu fazer L’Hospital de novo:

lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x sin ⁡ x 2 e 2 x - 2 = lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x sin ⁡ x ' 2 e 2 x - 2 '

= lim x → 0 ⁡ 2 cos ⁡ x sin ⁡ x ' + sin ⁡ x 2 cos ⁡ x ' 2 2 x ' e 2 x = lim x → 0 ⁡ 2 cos 2 ⁡ x - 2 sin 2 ⁡ x 4 e 2 x

Bora substituir agora e ver no que dá:

lim x → 0 ⁡ 2 cos 2 ⁡ x - 2 sin 2 ⁡ x 4 e 2 x = 2 cos 2 ⁡ 0 - 2 sin 2 ⁡ 0 4 e 2.0 = 2 4 = 1 2

Então fechamos a questão!

lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x e 2 x - 2 x - 1 = 1 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 - cos 2 ⁡ x e 2 x - 2 x - 1 = 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2