1b) Calcule:

lim x → 1 ⁡ x - 1 - ln ⁡ x 1 + cos ⁡ π x

Passo 1

Bora lá então. A primeira coisa a fazer em qualquer limite é substituir pra ver no que que dá. Nesse caso, olha o que acontece:

lim x → 1 ⁡ x - 1 - ln ⁡ x 1 + cos ⁡ π x = 1 - 1 - ln ⁡ 1 1 + cos ⁡ π = 0 - 0 1 - 1 = 0 0

Opa, indeterminação aí! Vamos ter que manipular então esse limite pra tirar essa indeterminação, beleza?

Passo 2

Veja bem, a indeterminação que deu é do tipo 0 0 ! Esse tipo de indeterminação cabe com nosso querido e amado Teorema de L’Hospital em! Então derivando em cima e em baixo:

lim x → 1 ⁡ x - 1 - ln ⁡ x 1 + cos ⁡ π x = lim x → 1 ⁡ x - 1 - ln ⁡ x ' 1 + cos ⁡ π x ' = lim x → 1 ⁡ 1 - 1 x - π sin ⁡ π x

Beleza, agora temos um limite diferente. Vamos substituir nele pra ver o que acontece:

lim x → 1 ⁡ 1 - 1 x - π sin ⁡ π x = 1 - 1 1 - π sin ⁡ π = 0 0

Puts, indeterminação de novo. Não foi dessa vez em! Mas olha só! Mesmo tipo de indeterminação. Então, por que não fazer LH de novo? Vamos ter:

lim x → 1 ⁡ 1 - 1 x - π sin ⁡ π x = lim x → 1 ⁡ 1 - 1 x ' - π sin ⁡ π x ' = lim x → 1 ⁡ 1 x 2 - π 2 cos ⁡ π x

Agora sim em! Substituindo, vamos ter que o limite:

lim x → 1 ⁡ 1 x 2 - π 2 cos ⁡ π x = 1 1 2 - π 2 cos ⁡ π = 1 - π 2   - 1 = 1 π 2

Fechada a questão então! A resposta é:

lim x → 1 ⁡ x - 1 - ln ⁡ x 1 + cos ⁡ π x = 1 π 2

Resposta

lim x → 1 ⁡ x - 1 - ln ⁡ x 1 + cos ⁡ π x = 1 π 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2