Calcule

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 4 x 2 + 3 x + 1 arctan ⁡ sen ⁡ 2 x

Passo 1

Vamos começar substituindo o valor de x naquela expressão do limite

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 4 x 2 + 3 x + 1 arctan ⁡ sen ⁡ 2 x = ln ⁡ 4 ∙ 0 2 + 3 ∙ 0 + 1 arctan ⁡ sen ⁡ 2 ∙ 0 = ln ⁡ 1 arctan ⁡ sen ⁡ 0 = 0 arctan ⁡ 0 = 0 0

Isso deu uma indeterminação 0 0 e podemos usar a regra de L’Hospital para resolver isso

Passo 2

Aplicando a regra de L’Hospital vamos ter

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 4 x 2 + 3 x + 1 arctan ⁡ sen ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 4 x 2 + 3 x + 1 ' arctan ⁡ sen ⁡ 2 x '

Vamos resolver essas derivadas separadamente

Para fazer essa derivada vamos usar a regra da cadeia nesses cossenos, vamos começar fazendo a derivada de ln ⁡ 4 x 2 + 3 x + 1 , vamos chamar essa função de f x

f x = ln ⁡ 4 x 2 + 3 x + 1

Repara que temos duas funções, g x = ln ⁡ x e h x = 4 x 2 + 3 x + 1 isso nos diz que

f x = g h x

Aplicando a regra da cadeia

f ' x = g ' h x ∙ h ' x

Vamos derivar as duas funções

g ' x = 1 x

h ' x = 8 x + 3

E a derivada de f x vai ficar

f ' x = 1 4 x 2 + 3 x + 1 ∙ 8 x + 3 = 8 x + 3 4 x 2 + 3 x + 1

Vamos fazer a outra derivada agora arctan ⁡ sen ⁡ 2 x , vamos fazer dessa vez

f x = arctan ⁡ sen ⁡ 2 x

Repara que temos duas funções, u x = arctan ⁡ x e y x = sen ⁡ 2 x isso nos diz que

f x = u y x

Aplicando a regra da cadeia

f ' x = u ' y x ∙ y ' x

Vamos derivar as duas funções

u ' x = 1 1 + x 2

y ' x = 2 cos ⁡ 2 x

E a derivada de f x vai ficar

f ' x = 1 1 + sen ⁡ 2 x 2 ∙ 2 cos ⁡ 2 x

f ' x = 2 cos ⁡ 2 x 1 + sen ⁡ 2 x 2

Passo 3

Voltando para o limite, vamos ter

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 4 x 2 + 3 x + 1 arctan ⁡ sen ⁡ 2 x = lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 4 x 2 + 3 x + 1 ' arctan ⁡ sen ⁡ 2 x ' = lim x → 0 ⁡ 8 x + 3 4 x 2 + 3 x + 1 2 cos ⁡ 2 x 1 + sen ⁡ 2 x 2

Trocando o valor de x vamos ter

lim x → 0 ⁡ 8 x + 3 4 x 2 + 3 x + 1 2 cos ⁡ 2 x 1 + sen ⁡ 2 x 2 = 8 ∙ 0 + 3 4 ∙ 0 2 + 3 ∙ 0 + 1 2 cos ⁡ 2 ∙ 0 1 + sen ⁡ 2 ∙ 0 2 = 3 1 2 cos ⁡ 0 1 + 0 2 = 3 2 ∙ 1 1 = 3 2

Resposta

3 2

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2