Calcule o limite.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( arcsen ⁡ x ) cot ⁡ x

Passo 1

Vamos fazer a substituição do x e ver o que acontece.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( arcsen ⁡ x ) cot ⁡ x = ln ⁡ ( arcsen ⁡ 0 ) cot ⁡ 0 = ∞ ∞

Vish! Indefinição. O lado bom é que nesse caso podemos usar a Regra de L’Hopital.

Passo 2

Então vamos nessa, temos que derivar a função de cima e a função de baixo.

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( arcsen ⁡ x ) cot ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ( ln ⁡ ( arcsen ⁡ x ) ) ' ( cot ⁡ x ) '

lim x → 0 + ⁡ 1 arcs e n ⁡ x . ( arcsen ⁡ x ) ' - csc ² ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ 1 arcs e n ⁡ x . 1 1 - x 2 - csc ² ⁡ x

Passo 3

Fazendo a substituição do x na expressão acima ainda saímos da indeterminação. Temos que ajeitar a expressão e tentar aplicar L’Hopital novamente.

lim x → 0 + ⁡ 1 1 - x 2 arcsen ⁡ x ( - csc ² ⁡ x )

lim x → 0 + ⁡ - 1 1 - x 2 arcsen ⁡ x . 1 sen ² ⁡ x

lim x → 0 + ⁡ - sen ² ⁡ x 1 - x 2 arcsen ⁡ x

Tente substituir x na expressão acima e você vai encontrar a indeterminação 0 0 . Então podemos aplicar L’Hopital.

lim x → 0 + ⁡ - 2 sen ⁡ x cos ⁡ x 1 - x a r c s e n x 1 - x 2

Fazendo a substituição do x agora temos

- 2 sen ⁡ 0 cos ⁡ 0 1 + 0 a r c s e n ( 0 ) 1 - 0 2 = - 0 1 + 0 1 = - 0 1 = 0

Resposta

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ ( arcsen ⁡ x ) cot ⁡ x = 0

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2