Calcule o limite abaixo. Justifique suas respostas.

lim x → 0 ⁡ e 2 x - e - 2 x - 4 x x - sen ⁡ ( x )

Passo 1

Primeiramente, substituímos o valor de x para avaliar o que está acontecendo com o limite.

e 2 x - e - 2 x - 4 x x - sen ⁡ ( x ) ⟹ 1 - 1 - 0 0 - sen ⁡ ( 0 ) ⟹ 0 0

Dado que temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 , podemos partir para utilizar L’Hospital.

Passo 2

Aplicando a regra de L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ e 2 x - e - 2 x - 4 x x - sen ⁡ ( x ) = lim x → 0 ⁡ e 2 x - e - 2 x - 4 x ' x - sen ⁡ ( x ) '

lim x → 0 ⁡ e 2 x - e - 2 x - 4 x x - sen ⁡ ( x ) = lim x → 0 ⁡ 2 e 2 x + 2 e - 2 x - 4 1 - cos ⁡ x

Como obtivemos um limite novo, é hora de substituir o valor de x novamente, para averiguar a situação:

2 e 2 x + 2 e - 2 x - 4 1 - cos ⁡ x ⟹ 2 + 2 - 4 1 - 1 ⟹ 0 0

Ou seja, é o caso de utilizarmos L’Hospital novamente!

Passo 3

Reiterando a regra de L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ 2 e 2 x + 2 e - 2 x - 4 1 - cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 2 e 2 x + 2 e - 2 x - 4 ' 1 - cos ⁡ x '

lim x → 0 ⁡ 2 e 2 x + 2 e - 2 x - 4 1 - cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 4 e 2 x - 4 e - 2 x sen ⁡ ( x )

Mais uma vez, substituindo x :

4 e 2 x - 4 e - 2 x sen ⁡ ( x ) ⟹ 4 - 4 sen ⁡ ( 0 ) ⟹ 0 0

Jesus! Isso não acaba nunca? É o caso de usar L’Hospital novamente, espero que dessa vez dê cabo...

Passo 4

Mais uma vez, L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ 4 e 2 x - 4 e 2 x sen ⁡ ( x ) = lim x → 0 ⁡ 8 e 2 x + 8 e - 2 x cos ⁡ x

Substituindo o nosso x querido:

8 e 2 x + 8 e - 2 x c o s ⁡ ( x ) ⟹ 8 + 8 1 = 16

Um número!!! Isso aí! Até que enfim!

Resposta

lim x → 0 ⁡ e 2 x - e - 2 x - 4 x x - sen ⁡ ( x ) = 16

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2