Enunciado

Calcule o limite

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x

Passo 1

Chegou o momento que todos os alunos amam! (Acredite... Eu amo kkkkkk). A partir de agora vocês estarão aptos a fazer alguns limites muuuito mais rápido.

Agora... Infelizmente, não podemos utilizar esse teorema pra todos os casos, neh? Apenas se tivermos uma indeterminação do tipo

0 0           o u           ∞ ∞

No nosso caso, basta avaliar no limite...

ln ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x = ln ⁡ ln ⁡ ∞ ln ⁡ ∞ = ln ⁡ ∞ ∞

∞ ∞

Ou seja... Podemos aplicar L’hopital . Bora lá?

Passo 2

Então, esse teorema, como você deve se lembrar, iguala esse limite

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x

com o limite da divisão da derivada de cima, pela derivada do de baixo, veja:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x ' ln ⁡ x '

Tome cuidado para não derivar utilizando a regra da fração, heim! L’hopital treme no túmulo, hehe.

Então vamos derivar!

Passo 3

Primeiro derivando em cima aplicando a regra da cadeia:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x ' ln ⁡ x ' = lim x → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x ⋅ 1 x ln ⁡ x ' =

Agora derivando em baixo...

lim x → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x ⋅ 1 x 1 x =

lim x → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x

Então, aquele limite que dava uma indeterminação é igual a esse daí por L ' h o p i t a l :

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x ln ⁡ x = lim x → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x

Passo 4

Cara, esse limite daí é bem tranquilo, pois pensa comigo... x vai para o infinito, então o l n também vai. 1 dividido por alguém que cresce ao infinito é...

lim x → ∞ ⁡ 1 ln ⁡ x = 0

Resposta

0

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