Calcule o limite:

lim x → 0 ⁡ x arctan ⁡ x

Passo 1

Chegou o momento que todos os alunos amam! (Acredite... Eu amo kkkkkk). A partir de agora vocês estarão aptos a fazer alguns limites muuuito mais rápido.

Agora... Infelizmente, não podemos utilizar esse teorema pra todos os casos, neh? Apenas se tivermos uma indeterminação do tipo

0 0           o u           ∞ ∞

No nosso caso, basta avaliar no limite...

x arctan ⁡ x = 0 arctan ⁡ 0

= 0 0

Ou seja... Podemos aplicar L’hopital . Bora lá?

Passo 2

Então, esse teorema, como você deve se lembrar, iguala esse limite

lim x → 0 ⁡ x arctan ⁡ x

com o limite da divisão da derivada de cima, pela derivada do de baixo, veja:

lim x → 0 ⁡ x arctan ⁡ x = lim x → 0 ⁡ x ' arctan ⁡ x '

Tome cuidado para não derivar utilizando a regra da fração, heim! L’hopital treme no túmulo, hehe.

Então vamos derivar!

Passo 3

Derivando em cima...

lim x → 0 ⁡ x ' arctan ⁡ x ' = lim x → 0 ⁡ 1 arctan ⁡ x '

E agora derivando em baixo...

lim x → 0 ⁡ 1 arctan ⁡ x ' =

lim x → 0 ⁡ 1 1 x 2 + 1 = lim x → 0 ⁡ x 2 + 1

Quando x vai a zero...

lim x → 0 ⁡ x 2 + 1 = 0 2 + 1 = 1

Por L’Hopital, eis a solução do nosso problema...

lim x → 0 ⁡ x arctan ⁡ x = 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ x arctan ⁡ x = 1

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2