Calcule os limites:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x x - sen ⁡ x

Passo 1

Substituindo o ponto, temos:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x x - sen ⁡ x → tan ⁡ ( 0 ) - 0 0 - sen ⁡ 0 → 0 0

Que é uma indeterminação de L’Hôpital. Podemos, portanto, aplicá-lo. Vamos lá:

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x x - sen ⁡ x = lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x ' x - sen ⁡ x ' = lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ ( x ) - 1 1 - cos ⁡ x

Passo 2

Vamos tentar substituir o ponto novamente:

lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ ( x ) - 1 1 - cos ⁡ x → sec 2 ⁡ ( 0 ) - 1 1 - cos ⁡ 0 → 0 0

Oxê, a indeterminação continua... Podemos, porém, aplicar L’Hôpital novamente. Usando a regra da cadeia:

lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ ( x ) - 1 1 - cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ sec 2 ⁡ ( x ) - 1 ' 1 - cos ⁡ x ' = l i m x → 0 2 sec ⁡ x ⋅ sec ⁡ x tan ⁡ x sen ⁡ ( x ) = l i m x → 0 2 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x sen ⁡ ( x )

Passo 3

Substituindo o ponto novamente:

l i m x → 0 2 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x sen ⁡ ( x ) → 2 sec 2 ⁡ 0 tan ⁡ 0 sen ⁡ ( 0 ) → 0 0

L’Hôpital novamente? Não, calma lá agora. Vamos tentar abrir as funções trigonométricas:

l i m x → 0 2 sec 2 ⁡ x tan ⁡ x sen ⁡ ( x ) = l i m x → 0 2 ⋅ 1 cos 2 ⁡ x ⋅ sen ⁡ x cos ⁡ x ⋅ 1 sen ⁡ x

Veja que dá para cortar os senos:

… = l i m x → 0 2 ⋅ 1 cos 3 ⁡ x = 2 ⋅ 1 cos 3 ⁡ 0 = 2

Pronto, agora foi!

Resposta

lim x → 0 ⁡ tan ⁡ x - x x - sen ⁡ x = 2

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2