Calcule o seguinte limite :

lim x → 0 ⁡ e x - sen ⁡ x - cos ⁡ 2 x sen 2 ⁡ x

Passo 1

Antes de mais nada, vamos substituir x = 0 no limite e ver no que dá:

e 0 - sen ⁡ 0 - cos ⁡ 0 sen 2 ⁡ 0 = 1 - 0 - 1 0 = 0 0

Caímos numa indeterminação 0 / 0 , então temos que dar um jeito nisso aí.

Passo 2

Com uma indeterminação dessas, o primeiro reflexo é tentar aplicar l’Hôpital, né? Então vamos tentar:

lim x → 0 ⁡ e x - sen ⁡ x - cos ⁡ 2 x sen 2 ⁡ x = lim x → 0 ⁡ e x - cos ⁡ x + 2 sen ⁡ 2 x 2 sen ⁡ x cos ⁡ x = 0 0

Caímos de novo numa indeterminação 0 / 0 , então vamos de l’Hôpital de novo!

Passo 3

Mas repara que no denominador apareceu o produto de um seno e um cosseno, então na hora de derivar vamos ter que usar a regra do produto e só vai complicar o limite.

Aqui a sacada é a seguinte:

2 sen ⁡ x cos ⁡ x = sen ⁡ 2 x

Essa é uma identidade trigonométrica bastante importante!

Assim o nosso limite vai ser:

lim x → 0 ⁡ e x - cos ⁡ x + 2 sen ⁡ 2 x sen ⁡ 2 x

Passo 4

Agora sim vamos aplicar a regra de l’Hôpital, aí vai ficar:

lim x → 0 ⁡ e x + sen ⁡ x + 4 cos ⁡ 2 x 2 cos ⁡ 2 x = 1 + 0 + 4 2 = 5 2

Pronto, aí está o valor do limite! :)

Resposta

5 2

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2