Calcule o seguinte limite:

lim x → 0 ⁡ 9 x 3 - 6 x + 2 sin ⁡ ( 3 x ) x ³

Passo 1

Substituindo x por 0 :

lim x → 0 ⁡ 9 x 3 - 6 x + 2 sin ⁡ ( 3 x ) x ³ = 9 ( 0 ) 3 - 6 ( 0 ) + 2 sin ⁡ ( 3 ( 0 ) ) ( 0 ) ³ = 0 0

Que pena! Indeterminação ☹

Passo 2

Mas nem tudo está perdido, meu caro! Essa indeterminação é exatamente o tipo que permite usarmos a Regra de L’Hopital, então vamos fazer isso.

lim x → 0 ⁡ ( 9 x 3 - 6 x + 2 sin ⁡ 3 x ) ' ( x ³ ) ' =

lim x → 0 ⁡ 27 x 2 - 6 + 2 cos ⁡ 3 x . 3 3 x ² =

lim x → 0 ⁡ 27 x 2 - 6 + 6 cos ⁡ 3 x 3 x ²

Substituindo por zero:

lim x → 0 ⁡ 27 x 2 - 6 + 6 cos ⁡ 3 x 3 x ² = 0 - 6 + 6 0 = 0 0

Passo 3

Aplicando L’Hopital de novo:

lim x → 0 ⁡ 54 x - 18 sin ⁡ ( 3 x ) 6 x

Fazendo a substituição:

lim x → 0 ⁡ 54 x - 18 sin ⁡ ( 3 x ) 6 x = 0 - 0 0 = 0 0

Passo 4

Mais uma vez vamos usar L’Hopital:

lim x → 0 ⁡ 54 - 54 cos ⁡ ( 3 x ) 6

Agora sim! Olha o que vai dar quando substituirmos o x .

lim x → 0 ⁡ 54 - 54 cos ⁡ ( 3 x ) 6 = 54 - 54 cos ⁡ ( 0 ) 6 = 54 - 54 6 = 0

Lembrando que, nesse caso, usamos L’Hopital várias vezes porque a função era simples de derivar. Em funções mais complicadas isso pode dificultar ainda mais.

Resposta

0

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2