b) Calcule os seguintes limites

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 3 x 5 x

Passo 1

Esse limite aí tem cara de dar uma indeterminação em! Como saber? Bom, a primeira coisa na hora de calcular limites sempre vai ser substituir e ver o que acontece. Bora lá:

lim x → 0 ⁡     cos ⁡ 3 x 5 x = cos ⁡ 0 5 0 = 1 ∞

Viu? Indeterminação! Já que não dar pra calcular direto, vamos tentar reescrever o limte primeiro. Quando vemos uma função do tipo, a primeira coisa que a gente pode tentar fazer é usar propriedades da exponencial. Dá uma olhada que sagaz:

f x = e ln ⁡ f x

Bem, já que é assim, seja:

f x = cos ⁡ 3 x 5 x

Então vamos ter:

f x = e ln ⁡ cos ⁡ 3 x 5 x = e 5 ln ⁡ cos ⁡ 3 x x

Quer ver porque isso facilita nossa vida? Bem, das propriedades dos limites, temos:

lim x → a ⁡ e g x = e lim x → a ⁡ g x

Seja:

g x = 5 ln ⁡ cos ⁡ 3 x x

Vamos ter:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 3 x 5 x = lim x → 0 ⁡ e 5 ln ⁡ cos ⁡ 3 x x = e lim x → 0 ⁡ 5 ln ⁡ cos ⁡ 3 x x

E olha só, o limite a ser calculado ficou mais fácil! Vamos só calcular então:

lim x → 0 ⁡ 5 ln ⁡ cos ⁡ 3 x x

Passo 2

Vamos então calcular esse limite então. Bem, se a gente substituir, infelizmente, continuamos com indeterminação. Mas vamos tentar mesmo assim:

lim x → 0 ⁡ 5 ln ⁡ cos ⁡ 3 x x = 5 ln ⁡ cos ⁡ 0 0 = 5 ln ⁡ 1 0 = 0 0

E olha só! Pode até não ter dado certo a substituição, mas o tipo de indeterminação é um tipo que a gente consegue lidar bem! Quando temos esse tipo aí, vale L’Hospital em! Então realizando LH:

lim x → 0 ⁡ 5 ln ⁡ cos ⁡ 3 x x = lim x → 0 ⁡ 5 ln ⁡ cos ⁡ 3 x ' x ' =

Realizando no numerador a regra da cadeia:

= lim x → 0 ⁡ 5 1 cos ⁡ 3 x cos ⁡ 3 x ' 1 = lim x → 0 ⁡ 5 cos ⁡ 3 x - 3 sin ⁡ 3 x = lim x → 0 ⁡ - 15 tan ⁡ 3 x

E olha só! Sem indeterminações mais. Agora é só substituir:

lim x → 0 ⁡ - 15 tan ⁡ 3 x = - 15 tan ⁡ 0 = 0

Então fechamos! Como:

lim x → 0 ⁡ 5 ln ⁡ cos ⁡ 3 x x = lim x → 0 ⁡ - 15 tan ⁡ 3 x = 0

E:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 3 x 5 x = e lim x → 0 ⁡ 5 ln ⁡ cos ⁡ 3 x x

Vamos ter:

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 3 x 5 x = e 0 = 1

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ 3 x 5 x = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2