Calcule os seguintes limites, identificando o tipo de indeterminação, caso existam:

  1. lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ x 2 e x - x - 1
  2. lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 - 1 x

Passo 1

Sempre vamos começar uma questão de limites substituindo o valor que x tende, para verificarmos se há uma indeterminação ou não. Somente depois de verificado é que podemos discutir o que fazer. Portanto,

lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ x 2 e x - x - 1 = arctg ⁡ 0 2 e 0 - 0 - 1 = 0 1 - 0 - 1 = 0 0

Agora sim. Temos uma indeterminação do tipo 0 / 0 .

Como chegamos a uma indeterminação deste tipo, vamos utilizar a regra de L’Hospital para resolver o problema (também poderia ser utilizado se a indeterminação fosse do tipo ∞ / ∞ ).

A regra de L’Hospital nos diz que:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f ' x g ' x

Isto é, podemos pegar a função do numerador ( arctg ⁡ x 2 para esta questão) e do denominador ( e x - x - 1 para esta questão), derivarmos separadamente e depois fazer a divisão da derivada do numerador pela derivada do denominador.

É claro que isto só pode ser feito se houver uma indeterminação do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ , conforme foi checado anteriormente. Caso isto não aconteça, temos que fazer alguma operação para que isto aconteça.

Passo 2

Bom, agora que confirmamos que podemos aplicar a regra de L’Hospital, vamos aplica-la. Começaremos derivando o numerador e o denominador. Portanto, se o numerador é f x = arctg ⁡ x 2 , aplicando a regra da cadeia, temos:

f ' x = 1 x 2 2 + 1 ⋅ x 2 ' = 1 x 2 2 + 1 ⋅ 2 x = 2 x x 4 + 1

Lembrando a vocês, a derivada da função mais fora arctg ⁡ x , que é 1 x 2 + 1 , aplicada a função de dentro x 2 , vezes a derivada da função de dentro x 2 , que é 2x.

Agora, vamos derivar o numerador. Se ele é g x = e x - x - 1 , então,

g ' x = e x - 1

Portanto, o nosso limite

lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ x 2 e x - x - 1 = lim x → 0 ⁡ 2 x x 4 + 1 e x - 1 = lim x → 0 ⁡ 2 x e x - 1 ⋅ x 4 + 1

Agora, temos que substituir o valor x = 0 na nossa nova função para verificar se haverá outra indeterminação (o que resultaria em uma nova regra de L’Hospital), ou se a gente já conseguiria obter algum resultado.

Portanto, vamos substituir e ver o que que acontece com o nosso limite.

lim x → 0 ⁡ 2 x e x - 1 ⋅ x 4 + 1 = 2 ⋅ 0 e 0 - 1 ⋅ 0 4 + 1 = 0 1 - 1 ⋅ ( 0 + 1 ) = 0 0

Eita, nova indeterminação! Temos que utilizar novamente a regra de L’Hospital.

Passo 3

Para aplicar novamente a regra de L’Hospital, vamos ter de derivar o numerador e o denominador. Derivando o nosso novo denominador h x = 2 x , temos h ' x = 2 .

Já para o denominador t x = e x - 1 ⋅ x 4 + 1 , vamos aplicar a regra do produto. Portanto,

t ' x = e x - 1 ' ⋅ x 4 + 1 + e x - 1 ⋅ x 4 + 1 '

t ' x = e x ⋅ x 4 + 1 + e x - 1 ⋅ 4 x 3

Lembrando a regra do produto, derivada do primeiro termo vezes o segundo termo mais derivada do segundo termo vezes o primeiro.

Substituindo esta relação no nosso limite, temos:

lim x → 0 ⁡ 2 x e x - 1 ⋅ x 4 + 1 = lim x → 0 ⁡ 2 e x ⋅ x 4 + 1 + e x - 1 ⋅ 4 x 3

Agora, podemos substituir o valor de x = 0 e verificar a nossa resposta. Logo,

lim x → 0 ⁡ 2 e x ⋅ x 4 + 1 + e x - 1 ⋅ 4 x 3 = 2 e 0 ⋅ 0 4 + 1 + e 0 - 1 ⋅ 4 ⋅ 0 3 = 2 1 ⋅ 0 + 1 + 1 - 1 ⋅ 0 = 2 1 + 0 = 2

Portanto, a resposta do nosso limite é:

lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ x 2 e x - x - 1 = 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ x 2 e x - x - 1 = 2

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x + s e n x)
Calculel) underset(x - 0)(lim) (t g 3 x - s e n x)/(s e n^3 x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (t g x)/(x)
Encontre o limite.underset(x - 0)(lim) (a r c s e n 2 x)/(x)