Considere f : 0 , ∞ → R definida por:

f x = ln ⁡ a x 2 , x ≥ 1 sen ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1 0 < x < 1

Encontre o valor de a , para que f seja contínua.

Passo 1

Primeiramente, não precisa se desesperar com o enunciado quando diz f : 0 , ∞ → R . Isso significa simplesmente que a função pega um valor de 0 até infinito e leva ele até um número real.

Ok, agora, para começar, vamos analisar a continuidade geral da função. Temos aí um log, um seno e polinômios. Essas funções são naturalmente contínuas dentro dos seus domínios.

Passo 2

Feito isso, só precisamos agora garantir que a função também seja contínua no ponto onde ela troca de expressão para que seja contínua em todo seu domínio. Repare alí que ela troca de expressão exatamente em x = 1 . Então, vamos determinar a continuidade nesse ponto.

Para que a função seja contínua aí, precisamos que:

lim x → 1 - ⁡ f x = lim x → 1 + ⁡ f x = f 1 = ln ⁡ a

Então vamos calcular cada um desses limites para verificar a igualdade.

Passo 3

Vamos começar analisando o limite lateral pela esquerda. Como esse limite é dado pela aproximação através de valores menores que x = 1 , então usamos a expressão com o seno, que é validade justamente para x < 1 . Assim, substituímos no limite:

lim x → 1 - ⁡ f x = l i m x → 1 - sen ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1

Para resolvê-lo, a primeira coisa que devemos fazer é substituir seu valor no ponto:

l i m x → 1 - sen ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1 = 0 0

Como temos uma indeterminação, vamos precisar manipular nossa expressão para chegar no resultado. Veja que 0 / 0 é justamente uma das indeterminações de L ' H ô p i t a l , então podemos usá-lo derivando em cima e embaixo:

l i m x → 1 - sen ⁡ x 3 - 1 x 2 - 1 = l i m x → 1 - sen ⁡ x 3 - 1 ' x 2 - 1 ' = lim x → 1 - ⁡ cos ⁡ x 3 - 1 ⋅ 3 x 2 2 x = l i m x → 1 - 3 x ⋅ cos ⁡ x 3 - 1 2

Quanto dá esse limite? Vamos substituir o ponto:

… = 3 2 ⋅ 1 ⋅ cos ⁡ 0 = 3 2

Passo 4

Pô. Vimos lá atrás que, para ser contínua:

lim x → 1 - ⁡ f x = ln ⁡ a

Assim, vamos achar a . Aplicando e :

3 2 = ln ⁡ a ⟹ e 3 / 2 = a

Pronto! Esse é o valor de a para que a função seja contínua. Nem precisamos testar para o limite pela direita.

Resposta

e 3 / 2 = a

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2