Dada a função f x = x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2 , determine:

a ) o domínio, os limites pertinentes ao estudo (justifique os seus cálculos) e as assíntotas (caso existam e justifique se não existirem);

Passo 1

Para domínio precisamos ver valores que a nossa variável não pode assumir na função. Nessa f ( x ) aí nós temos duas situações: o que está dentro do l n deve ser > 0 ; o denominador do último termo não pode zerar. As condições são essas então:

x + 2 > 0 x + 2 ≠ 0

Juntando as duas, notamos que nosso domínio é x > - 2 D o m = - 2 , + ∞ [ ) .

Passo 2

Passamos para o estudo das assíntotas. Vamos lançar a função nos extremos dela e em descontinuidades. No caso, a função não tem descontinuidades no domínio, então vamos fazer x → + ∞ e x → - 2 . Primeiro vamos fazer esse caso do infinito:

lim x → + ∞ ⁡ x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2

= lim x → + ∞ ⁡ x 1 - 5 ln ⁡ x + 2 x - 6 x + 2

Vamos dividir o cálculo desse limite calculando um pedaço por vez:

lim x → + ∞ ⁡ 5 ln ⁡ x + 2 x ⇒ L ' H lim x → + ∞ ⁡ 5 1 x + 2 1 = lim x → + ∞ ⁡ 5 1 x + 2 = 0

lim x → + ∞ ⁡ - 6 x + 2 = 0

lim x → + ∞ ⁡ x = + ∞

Juntando tudo agora:

lim x → + ∞ ⁡ x 1 - 5 ln ⁡ x + 2 x - 6 x + 2 = lim x → + ∞ ⁡ x 1 - 0 - 0 = ∞

Não temos assíntotas horizontais.

Passo 3

Fazemos o outro limite agora:

lim x → - 2 + ⁡ x - 5 ln ⁡ x + 2 - 6 x + 2

= lim x → - 2 + ⁡ x - 5 x + 2 ln ⁡ x + 2 + 6 x + 2

Vamos calcular esse termo do ln ⁡ ( x + 2 ) do parênteses antes:

lim x → - 2 + ⁡ x + 2 ln ⁡ x + 2 = lim x → - 2 + ⁡ ln ⁡ x + 2 1 x + 2 ⇒ L ' H lim x → - 2 + ⁡ 1 x + 2 - 1 x + 2 2 = lim x → - 2 + ⁡ - x + 2 = 0

Voltando ao inicial:

lim x → - 2 + ⁡ x - 5 x + 2 ln ⁡ x + 2 + 6 x + 2 = - 2 - lim x → - 2 + ⁡ 6 x + 2 = - ∞

Ou seja, temos uma assíntota vertical em x = - 2 !

Resposta

D o m = ] - 2 , + ∞ [

N ã o   h á   a s s í n t o t a   h o r i z o n t a l

A s s í n t o t a   v e r t i c a l   e m   x = - 2

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2