( b ) Determine o valor de a de tal forma que

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + x + 1 sen ⁡ x 2 + a x = 1 2

Passo 1

Vamos lá, substituindo o limite de primeira:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + x + 1 sen ⁡ x 2 + a x = ln ⁡ 1 sen ⁡ 0 = 0 0

Indeterminação de quociente, temos que fugir dela usando nosso querido L’Hospital:

lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x 2 + x + 1 sen ⁡ x 2 + a x → L ' H lim x → 0 ⁡ x 2 + x + 1 ' x 2 + x + 1 x 2 + a x ' cos ⁡ x 2 + a x

= lim x → 0 ⁡ 2 x + 1 x 2 + x + 1 2 x + a cos ⁡ x 2 + a x

Agora vamos tentar substituir o limite de novo e ver no que vai dar esse cara:

lim x → 0 ⁡ 2 x + 1 x 2 + x + 1 2 x + a cos ⁡ x 2 + a x = 2 0 + 1 0 2 + 0 + 1 2 0 + a cos ⁡ 0 2 + a 0

= 1 1 a cos ⁡ 0 = 1 a 1

= 1 a

Boa, nós no enunciado tínhamos que o valor final do limite era 1 2 . Com isso, nós descobrimos o valor de a :

1 a = 1 2

a = 2

Resposta

a = 2

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Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital. lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x - 1 1 - cos ⁡ x
Use Lh’ospital o limite lim x → 0 ⁡ t g x x + s e n x
Calculel) lim x → 0 ⁡ t g 3 x - s e n x s e n 3x
Encontre o limite. lim x → 0 ⁡ t gx x
Encontre o limite. lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x 2